Como demostrar con los axiomas de los nueros reales?
Demuestre por inducción matemática que dados x, y que pertenecen a los reales, tales que 0<x<y demostrar que x^n < y^n para cualesquiera (n) en los reales.
1 Respuesta
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¡Hola Omar!
Para demostrar por inducción primero debemos comprobar que se cumple para n=1
0 < x^1 < y^1
0 < x < y
Que es verdadero por hipótesis
Y después debemos demostrar que si se cumple para n se cumple para n+1
Para ello usaremos el axioma O1.4 que tienes aquí
https://es.wikipedia.org/wiki/Axiom%C3%A1tica_de_los_n%C3%BAmeros_reales#Axiomas_de_orden
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Entonces, suponiendo
0 < x^n < y^n
multiplicando por x, que es mayor que 0, tenemos
0 < x^(n+1) < x·y^n
por otro lado aplicamos el mismo axioma a
x<y
multiplicamos por y^n
x·y^n < y^(n+1)
juntando las dos cadenas de desigualdades queda
0 < x^(n+1) < x·y^n < y^(n+1)
0 < x^(n+1) < y^(n+1)
Luego se cumple la propiedad para n+1. Y con ello queda demostrada la inducción.
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