¿Cómo puedo resolver la siguiente desigualdad cuadrática?

Si planteas la resolvente te da que las raíces (igualdad a cero) son complejas, esto quiere decir que la función es siempre positiva o siempre negativa.

Hay muchas formas de darse cuenta que pasa en este caso, pero una posibilidad es darle un valor cualquiera a x (digamos "0") y el signo que tenga la función para ese valor será el mismo para todos los valores ya que no tiene raíces reales

Sí x=0 entonces la expresión de la derecha vale 10. Es positiva, por lo tanto esa expresión es siempre positiva y NO existen valores que cumplan esa condición.

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¡Hola Ornar!

Has puesto dos inecuaciones distintas, en bonito

x^2 + 4x + 10 < 0

y luego abajo

x^2 + 40x + 10 < 0

Deberías decidir cuál de las dos es.

Si es la primera:

Es una función continua, si pasa por el 0 habrá un valor en el que valga 0

Resolvemos la ecuación asociada

$$\begin{align}&x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·10}}{2}=\frac{-4\pm \sqrt{-4}}{2}\end{align}$$

Esta ecuación no tiene soluciones reales, quiere decir esto que no cruza el eje X, y al ser continua es siempre positiva o siempre negativa.

En este caso es siempre positiva ya que si le das valor 0 a la x por ejemplo tendrás que el vlor de la parte izquierda es 10>0

Luego al ser siempre positiva nunca se cumple la inecuación y la respuesta es el conjunto vacío.

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Si la inecuación es la segunda:

Lo mismo de antes, examinamos los cortes con el eje X

$$\begin{align}&x=\frac{-40\pm \sqrt{40^2-4·10}}{2}=\\&\\&\frac{-40\pm \sqrt {1560}}{2}=-20\pm \sqrt{390}\\&\\&\text{Vaya, solución fea, no creo que fuera}\\&\text{esta la desigualdad}\end{align}$$

Hay quien tomaria un punto de los tres intervalos en que estas respuestas dividen a la recta real y calcularía el valor en ese punto para saber si el intervalo tiene valor positivo o negativo.  Pero nosotros ya somos mayores y sabemos que una parábola

ax^2+bx+c  

Con a>0 tiene forma de U, por lo tanto cuando vale menos de cero es entre las dos raíces de la ecuación.

Y la respuesta será el intervalo

(-20-sqrt(390), -20+sqrt(390))

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