Sea la ecuación de segundo grado compleja, Z^2+2iz-i=0
$$\begin{align}&z^2+2iz-i=0\end{align}$$sea la ecuación de segundo grado compleja, Z^2+2iz-i=0, resuelva las siguiente ecuacion si se sabe que para todo z que pertenezca a los complejos
1 Respuesta
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¡Hola Christopher!
Es una ecuación de segundo grado pero con coeficientes complejos. En la demostración de la fórmula de la ecuación de segundo grado no veo nada que impida que valga para coeficientes complejos.
$$\begin{align}&z=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&\\&z=\frac{-2i\pm \sqrt{(2i)^2+4i}}{2}=\\&\\&\frac{-2i\pm \sqrt{4i^2+4i}}{2}=\\&\\&\frac{-2i\pm \sqrt{-4+4i}}{2}=\\&\\&-i \pm \sqrt{i-1}\\&\\&\\&\text{También se puede hacer \sin usar la fórmula}\\&\text{mediante la técnica llamada completar cuadrados}\\&\\&z^2+2iz-i=0\\&\\&\text{si pongo }(z+i)^2=z^2+2iz+i^2 \\&\\&\text{la ecuación podemos dejarla así}\\&\\&(z+i)^2-i^2-i=0\\&\\&(z+i)^2=i +i^2\\&\\&(z+i)^2 =i-1\\&\\&z+i= \pm \sqrt{i-1}\\&\\&z =-i\pm \sqrt{i-1}\end{align}$$Como puedes ver la respuesta es la misma. Lo que pasa con esa respuesta es que a lo mejor no le gusta al profesor porque no tiene la forma canónica z=a+bi. Para conseguir eso haría falta calcular la raíz de (i-1) que se calcula igual que cualquier otra raíz cuadrada de un número complejo. Yo lo haría por coordenadas polares, tú no sé cómo lo harías pero supongo que sabes.
Saludos.
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En concreto, el número complejo i-1 forma 135º y su módulo es raíz de 2.
Por lo tanto su raíz cuadrada primera es un número complejo de módulo raíz(raíz de 2) y ángulo 135º/2=67.5º
Su forma trigonométrica es
$$\begin{align}&\sqrt[4]2(\cos 67.5º+i·sen 67.5º)=\\&\\&\text{Pero en matemática superior eso debe hacerse}\\&\text{\sin calculadora, con las fórmulas del ángulo}\\&\text{mitad de 135º}\\&\\&\cos \frac a2=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}\\&\\&sen \frac a2=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}2}\\&\\&\text{el signo depende del cuadrante}\\&\\&\cos 67.5º = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt 2}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2}\\&\\&sen 67.5= \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt 2}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}\\&\\&z_1=-i +\sqrt[4]2\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2}+i \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2} \right)=\\&\\&-i+\frac{\sqrt{\sqrt 2(2-\sqrt 2)}}{2}+i \frac{\sqrt{\sqrt 2(2+\sqrt 2)}}{2}=\\&\\&-i+\frac{\sqrt{2 \sqrt 2-2}}{2}+i \frac{\sqrt{2 \sqrt 2+2}}{2}=\\&\\&\frac{\sqrt{2 \sqrt 2-2}}{2}+ i\left( \frac{\sqrt{2 \sqrt 2+2}}{2}-1 \right)\end{align}$$La otra respuesta te dejo calcularla a ti.
Saludos.
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