De que manera resolver este ejercicio
Necesito saber si es una ecuacion exacta y resolver la ED si no fuera exacta combertirla a exacta y realizar la ED
y dx + (2xy - e^-2y) dy = 0
2 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Xavier!
$$\begin{align}&\text{Siendo la ecuación de la forma}\\&M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\\&\text{para ser exacta debe verificarse}\\&M_y=N_x\\&\\&y dx + (2xy - e^{-2y}) dy = 0\\&\\&M_y=1\\&N_x=2y\\&\\&\text{Tenemos que } \frac{M_y-N_x}{M}=\frac{1-2y}{y}=\frac 1y-2\\&\\&\text{es una función que solo depende de y}\\&\text{En esas condiciones la teoría dice}\\&\text{que el factor integrante es}\\&\\&\mu(y)=e^{-\int \frac{M_y-N_x}{M}dy}=e^{-\int \left(\frac{1}{y}-2\right)dy}=\\&\\&e^{-lny+2y}=e^{ln \frac 1y+2y}=\frac 1ye^{2y}=\frac{e^{2y}}{y}\\&\\&\text{Multiplicamos la ecuación por él}\\&\\&\frac{e^{2y}}{y}\left(y dx + (2xy - e^{-2y}) dy\right) = 0\\&\\&e^{2y}dx +\left(2xe^{2y}-\frac 1y\right)dy = 0\\&\\&\text{Comprobamos que es exacta ahora}\\&M_y=2e^{2y}\\&N_x=2e^{2y}\\&\\&\text{Según la teoría la solución es}\\&\\&u(x,y)=C\\&donde\\& u_x=M\\&u_y=N\\&\text{luego integramos M respecto de x}\\&\text{y ponemos como constante de integración }\\&\text{una función que solo dependa de y}\\&\\&u=\int e^{2y}dx= xe^{2y}+\varphi(y)\qquad (1)\\&\\&\text{esto derivado respecto de y debe ser N}\\&\\&2xe^{2y}+\varphi'(y)=2xe^{2y}-\frac 1y\\&\\&\varphi'(y) = -\frac 1y\\&\\&\varphi(y)=\int-\frac 1y dy=-ln\; y\\&\\&\text{Y volviendo a la igualdad (1)}\\&\\&u =xe^{2y}-ln\,y\\&\\&\text{La solución es: }\\&xe^{2y}-ln\,y=C\\&\\&\end{align}$$:
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Seguramente será fallo de la página. Me llega mensaje de que la has puntuado pero aquí no aparece la puntuación. Vuelve a puntuar por favor para ver si se arregla.
Saludos.
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Vale, ya aparece como puntuada. Hoy está fallona la página.
Respuesta de Lucas m
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Una función M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
es diferencial exacta si las derivadas parciales siguientes son iguales:
$$\begin{align}&M_y=N_x\\&\\&ydx+(2xy-e^{-2y})dy=0\\&\\&\\&M_y=\frac{\partial M}{\partial y}=1\\&\\&N_x=2y\end{align}$$No es diferencial exacta.
Calculemos el Factor Integrante:
$$\begin{align}&\frac{M_y-N_x}{M}=\frac{1-2y}{2xy-e^{-2y}}\\&\\&\frac{N_x-M_y}{M}=\frac{2y-1}{y}=2-\frac{1}{y}\\&\\&F=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M}dy}=e^{\int(2-\frac{1}{y})dy}=e^{2y-lny}=\frac{e^{2y}}{e^{lny}}=\frac{e^{2y}}{y}\\&\\&\end{align}$$Multiplicando la E.Diferencial por elFactor Integrante se transforma en diferencial exacta:
$$\begin{align}&\frac{e^{2y}}{y} \Bigg[ydx+(2xy-e^{-2y}dy \Bigg]=0\\&\\&e^{2y}dx+(2xe^{2y}-\frac{1}{y})dy=0\\&Comprobación \ diferencial \ exacta:\\& M_y=2e^{2y}\\&N_x=2e^{2y}\\&\\&Luego \ existe \ una \ función \Psi(x,y) \ \ tal que:\\&\\&\Psi_x=\frac{\partial \Psi}{\partial x}=e^{2y} \\&\Psi_y=\frac{\partial \Psi}{\partial y}=2xe^{2y}-\frac{1}{y}\\&\\&De: \Psi_x=\frac{\partial \Psi}{\partial x}=e^{2y} \Longrightarrow \Psi(x,y)= \int \Psi_xdx+h(y)=\\&\\&=\int e^{2y}dx+h(y)=e^{2y}·x+h(y)\\&Derivandola \ respecto \ y:\\&\Psi_y=2xe^{2y}+h'(y)\\&\\&Igualando :\Psi_y=\Psi_y \Rightarrow 2xe^{2y}+h'(y)=2xe^{2y}-\frac{1}{y} \\&\\&\Rightarrow\\&\\&h'(y)=2xe^{2y}-\frac{1}{y} -2xe^{2y}=\frac{-1}{y}\\&\Rightarrow\\&\\&h(y)=\int \frac{-1}{y}dy=-lny\\&\\&\Longrightarrow\\&\Psi(x,y)=xe^{2y}-lny\end{align}$$Saludos
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