¿Como realizar este ejercicio de ED?
[((3x^2)(y) +2xy +y^3)dx + ( x^2 + y^2)dy
Espero me pueda ayudar es encontrar la exacta para despues realizar la ED
1 Respuesta
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¡Hola Xavier!
Ya a primera vista se ve que no será exacta teniendo tres términos una y la otra dos y siendo como son.
$$\begin{align}&\text{Dada la ecuación diferencial}\\&\\&M(x,y)dx + N(x,y)dy=0\\&\\&\text{es exacta si }M_y=N_x\\&\\&(3x^2y +2xy +y^3)dx + ( x^2 + y^2)dy=0\\&\\&M_y=3x^2+2x+3y^2\\&\\&N_x=2x\\&\\&M_x-N_y= 3x^2+3y^2\\&\\&\frac{M_x-N_y}{N}=\frac{3x^2+3y^2}{x^2+y^2}= 3\\&\\&\text{Eso no depende de x ni de y, pero en concreto no}\\&\text{depende de y, y el factor integrante es este}\\&\\&\mu(x)=e^{\int \frac{M_x-n_y}{N}dx}=e^{\int 3dx}= e^{3x}\\&\\&\text{Multiplicamos por }e^{3x} \text{ toda la ecuación}\\&\\&e^{3x}(3x^2y +2xy +y^3)dx + e^{3x}( x^2 + y^2)dy\\&\\&\text{vamos a comprobar que es exacta}\\&\\&M_y=e^{3x}(3x^2+2x+3y^2)\\&N_x=3e^{3x}(x^2+y^2)+e^{3x}·2x=e^{3x}(3x^2+2x+3y^2)\\&\\&\text{Sí, es exacta. La respuesta será u(x,y)=C}\\&\text{donde }u_x=M, \; u_y=N\\&\text{Para resolverla en vez de integrar la normal M respecto}\\&\text{de x integramos N respecto de y}\\&\\&u=\int e^{3x}(x^2+y^2)dy= e^{3x}\left(x^2y+\frac {y^3}{3}\right)+\varphi(x)\\&\\&\text{al derivar esto respecto de x debe ser M}\\&\\&3e^{3x}\left(x^2y+\frac {y^3}{3} \right)+e^{3x}2xy+\varphi'(x)=e^{3x}(x^2+y^2)\\&\\&\varphi'(x)=e^{3x}\left(x^2+y^2-3x^2y-y^3 \right)\\&\\&\varphi(x)=\int e^{3x}(x^2+y^2-3x^2y-y^3)dx=\\&\\&u=x^2+y^2-3x^2y-y^3\qquad du = (2x-6xy)dx\\&v=e^{3x}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; v=\frac{e^{3x}}3\\&\\&=\frac{(x^2+y^2-3x^2y-y^3)e^{3x}}{3}-\int \frac{(2x-6xy)e^{3x}}{3}dx=\\&\\&u=2x-6xy\qquad du=(2-6y)dx\\&dv=\frac{e^{3x}}{3}dx\qquad\;v=\frac{e^{3x}}{9}\\&\\&\frac{(x^2+y^2-3x^2y-y^3)e^{3x}}{3}-\frac{(2x-6xy)e^{3x}}{9}+\frac{2-6y}{9}\int e^{3x}dx=\\&\\&\frac{(x^2+y^2-3x^2y-y^3)e^{3x}}{3}-\frac{(2x-6xy)e^{3x}}{9}+\frac{(2-6y)e^{3x}}{27}=\\&\\&\frac{(9x^2+9y^2-27x^2y-9y^3-6x+18xy+2-6y)e^{3x}}{27}\\&\\&\text{Luego la solución es}\\&\\&u=e^{3x}\left(x^2y+\frac {y^3}{3}\right)+\frac{(9x^2+9y^2-27x^2y-9y^3-6x+18xy+2-6y)e^{3x}}{27}=C\\&\\&\frac{(9x^2+9y^2-6x+18xy+2-6y)e^{3x}}{27} =C\\&\\&(9x^2+9y^2-6x+18xy+2-6y)e^{3x} = C\\&\end{align}$$
Antes me llevó mucho tiempo hacerlo y tenía prisas y no puede comprobar la respuesta. Ahora lo he hecho y veo que no está bien. Te pido que esperes hasta que vea donde he cometido el fallo.
Saludos.
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Vale, ya encontré el fallo, primero uno y después otro pero corrigiendo el primero y continuando bien ya no se da el segundo.
Al derivar respecto de y lo obtenido en la primera integración debería dar M, pero por la costumbre que tengo de hacer siempre primero la integral de M igualé a N en lugar de M, vamos a corregir eso
$$\begin{align}&\text{Dada la ecuación diferencial}\\&\\&M(x,y)dx + N(x,y)dy=0\\&\\&\text{es exacta si }M_y=N_x\\&\\&(3x^2y +2xy +y^3)dx + ( x^2 + y^2)dy=0\\&\\&M_y=3x^2+2x+3y^2\\&\\&N_x=2x\\&\\&M_x-N_y= 3x^2+3y^2\\&\\&\frac{M_x-N_y}{N}=\frac{3x^2+3y^2}{x^2+y^2}= 3\\&\\&\text{Eso no depende de x ni de y, pero en concreto no}\\&\text{depende de y, y el factor integrante es este}\\&\\&\mu(x)=e^{\int \frac{M_x-n_y}{N}dx}=e^{\int 3dx}= e^{3x}\\&\\&\text{Multiplicamos por }e^{3x} \text{ toda la ecuación}\\&\\&e^{3x}(3x^2y +2xy +y^3)dx + e^{3x}( x^2 + y^2)dy\\&\\&\text{vamos a comprobar que es exacta}\\&\\&M_y=e^{3x}(3x^2+2x+3y^2)\\&N_x=3e^{3x}(x^2+y^2)+e^{3x}·2x=e^{3x}(3x^2+2x+3y^2)\\&\\&\text{Sí, es exacta. La respuesta será u(x,y)=C}\\&\text{donde }u_x=M, \; u_y=N\\&\text{Para resolverla en vez de integrar la normal M respecto}\\&\text{de x integramos N respecto de y}\\&\\&u=\int e^{3x}(x^2+y^2)dy= e^{3x}\left(x^2y+\frac {y^3}{3}\right)+\varphi(x)\\&\\&\text{al derivar esto respecto de x debe ser M}\\&\\&3e^{3x}\left(x^2y+\frac {y^3}{3} \right)+e^{3x}2xy+\varphi'(x)=e^{3x}(3x^2y +2xy +y^3)\\&\\&\text{puedes comprobar que se simplifica todo}\\&\\&\varphi'(x)=0\\& \varphi(x)=C\\&\\&luego\\&\\&u= e^{3x}\left(x^2y+\frac {y^3}{3}\right)+C_1\\&\\&\text{habíamos dicho que la solución era de la forma }\\&u(x,y)=C\\&\text{Las dos cosntantes las juntamos y la solución es}\\&\\&e^{3x}\left(x^2y+\frac {y^3}{3}\right)=C\\&\\&\end{align}$$Y menuda diferencia. Antes, por equivocarme tuve que trabajar lo que no está escrito. Ya me parecía a mi raro porque lo normal es que la última integral sea bastante sencilla, pero yo lo veía todo bien hecho.
Y eso es todo, saludos.
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