¿Cómo hacer el desarrollo de esta ED y encomntrar la exacta y después realizar la ED?

A ver...

$$\begin{align}&(x+2) sen y dx + x \cos y dy=0\\&M_y=(x+2)\cos y\\&N_x=\cos y\\&My \ne Nx \therefore No \ es\ exacta\\&\\&(x+2) sen y dx = x \cos y dy\\&\frac{(x+2)}{x}  dx = \frac{\cos y}{sen y} dy\\&\int \frac{(x+2)}{x}  dx = \int \frac{\cos y}{sen y} dy\\&x + 2ln x+C=ln(sen(y))\\&seny=e^{x + 2ln x+C}\\&y=arcsen(e^{x + 2ln x+C})\\&\end{align}$$

Desde luego vamos a llevar la nochecita con los fallos de la página.

Te preguntaba si querías que resolviera la ecuación mediante factor integrante. Es más complicado que mediante separación de variables, luego si no es necesario es mejor que la resuelvas y presentes por separación de variables tal como hizo Gustavo. Lo único que la respuesta suele expresarse

$$\begin{align}&y=arcsen(Ce^{x + 2ln x})\end{align}$$

Pero las dos valen igual.

Saludos.

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