¿Cual es el desarrollo de esta ED?

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¡Hola Xavier!

Primero la ponemos de la forma habitual

y´= e^(2x)+ y - 1

dy/dx = e^(2x)+ y - 1

dy = [e^(2x)+ y - 1]dx

[e^(2x)+ y - 1]dx - dy = 0

My = 1

N(x) = 0

son distintos, luego no es exacta

Tenemos

(My-Nx) / N = (1-0) / (-1) = -1 que no depende de y

Por lo tanto el factor integrante es

$$\begin{align}&\mu(x)=e^{\int \frac{M_y-N_x}{N}dx}=e^{\int-dx}=e^{-x}\\&\\&\text{Y multiplicándolo por la ED queda}\\&\\&(e^x+ye^{-x}-e^{-x})dx-e^{-x} dy=0\\&\\&\text{La solución es }u(x,y)=C\\&\text{donde }u_x=M, u_y=N\\&\text{Es más fácil integrar N respecto de y}\\&\\&u=\int -e^{-x}dy = -ye^{-x} +\varphi(x)\\&\\&\text{derivando esto respecto de x debe dar M}\\&\\&ye^{-x}+\varphi'(x)=e^x+ye^{-x}-e^{-x}\\&\\&\varphi'(x)=e^x-e^{-x}\\&\\&\varphi(x)=\int(e^x-e^{-x})dx=e^x+e^{-x}\\&\\&\text{Llevamos este valor a la expresión de u de arriba}\\&\\&u=-ye^{-x}+e^x+e^{-x}\\&\\&\text{la solución es}\\&\\&-ye^{-x}+e^x+e^{-x}=C\\&\\&ye^{-x}=e^x+e^{-x}+C\\&\\&y=e^x(e^x+e^{-x}+C)\\&\\&y= e^{2x}+1+Ce^x\\&\\&\end{align}$$

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