Anónimo
¿Cual es el procedimiento de solución a este problema?
Ana encontró un cartón rectangular en su casa y decide reciclarla realizando con él una caja sin tapa para guardar en ella los cables y accesorios de su celular. El cartón mide 40 por 20 centímetros y la construcción se realizará recortando cuatro cuadrados iguales en cada una de las esquinas. Escribe las expresiones algebraicas de la Superficie y el Volumen de la caja en función del lado del cuadrado.
La siguiente imagen muestra los cortes que realizará Ana en el cartón para hacer la caja.
Para expresar la Superficie de la caja, debemos identificar primero que al recortar los cuadros de las esquinas se forman cinco rectángulos, recuerda que la Superficie de un rectángulo se obtiene al multiplicar la base por la altura, es decir S = bh.
En este caso tenemos cinco rectángulos por lo tanto debemos obtener la expresión para cada uno, para la Superficie 1 (S1) la base es por y la altura es 20 – 2x, entonces la expresión de la Superficie 1 sería:
S1 = x (20 – 2x)
Expresa algebraicamente las otras cuatro superficies:
S2 =
S3 =
S4 =
S5 =
La superficie total de la caja será S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5
Escribe la expresión de la Superficie sumando las cinco expresiones obtenidas anteriormente
S =
Para calcular el Volumen de la caja, recordemos que el Volumen es Superficie de la base por la altura, en este caso laSuperficie de la base es S5 y la altura x.
Expresa la expresión algebraica que representa el volumen de la caja.
V = (S5)(x)
V =
a) Encuentra el volumen de la caja su altura es de 5 centímetros __________________________
b) Encuentra la superficie de la caja si la altura es de 3 cm (S=836 cm2)
c) Si necesitamos que la superficie de la caja sea de 784 cm2 ¿Cuánto debe valer la altura de la caja? __________________________
d) Si la altura de la caja es de cero cm., calcula la superficie total y el volumen de la caja. (S=800 cm2 y V =0 cm3) __________________________
e) Considera las superficies S1, S2, S3, S4 y S5, considera que le pondrás un forro en la base y otro en las paredes laterales, el forro para la base cuesta $1.2 cada cm2 y el forro para las paredes laterales cuesta $1.5 cada cm2, si la altura de la caja es de 3 cm, calcula cuánto dinero se gastará en forrar todo el interior de la caja. __________________________
f) Recuerda que 1L = 1000 cm3, calcula cuántos litros le caben a la caja si su altura es de 7 cm __________________________
g) Recuerda que 1L = 1000 cm3, calcula cuántos litros le caben a la caja si su altura es de 8 cm __________________________
3 Respuestas
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¡Hola Anónimo!
Lee porque hay cosas distintas, por ejemplo que te han dado mal la repuesta del apartado b)
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Fíjate que S1=S2 y que S3=S4 ya que tienen idénticas medidas de base y altura.
Luego
S = 2S1 + 2S3 + S5 =
2x(20-2x) + 2x(40-2x) + (40-2x)(20-2x)=
40x - 4x^2 + 80x - 4x^2 + 800 - 80x - 40x +4x^2 =
x^2(-4-4+4) + x(40+80-80-40) + 800 =
-4x^2 + 0x +800
S = 800-4x^2 cm^2
·
Y la expresión del volumen es el producto de las tres dimensiones que llamaremos anchura, profundidad y altura.
V = (40-2x)(20-2x)x = (800 - 80x - 40x -4x^2)x = (800 - 120x - 4x^2)x =
800x - 120x^2- 4x^3
Fíjate que en realidad te he dado tres fórmulas, porque seguro si qte quedas en una el profesor dirá que no has trabajado suficiente, estás son las tres
V=(40-2x)(20-2x)x
V=(800-120x-4x^2)x
V= 800 - 120x^2 - 4x^3
A la gente le suele gustar más la tercera, pero la mejor es la primera, y aun la vamos a mejorar un poquito
V = (40-2x)(20-2x)x = 2(20-x)·2(10-x)·x
V = 4x(20-x)(10-x)
Esta es la expresión que requiere menos operaciones y más sencillas
a)
Sustituyendo x=5 en la última fórmula del volumen tenemos
V=4·5(20-5)(10-5) = 20·15·5 = 1500 cm^3
b)
En la fórmula que habíamos encontrado para la superficie sustituimos x=2
S = 800 - 4·3^2 = 800 - 4·9 = 800-36 = 764 cm^2
c)
Tendremos que poner 784 en el lado izquierdo de la fórmula y despejar x
784 = 800 - 4x^2
4x^2 = 800 - 784 = 16
x^2 = 16/4 = 4
x = raíz(4) = 2 cm
d)
Las calculamos a partir de las fórmulas
S=800-4x^2 = 800 - 4·0^2 = 800 - 0 = 800 cm^2
V= 4·0·(20-0)·(10-0) = 0
nada más que un factor es 0 el resultado es 0
e)
Si la altura de la caja la superficie total es
800 - 4·3^2 = 800 - 4·9 = 800 - 36 = 764 cm^2
La superficie de la base es
S5 = (40-2·3)·(20-2·3) = (40-6)(20-6) = 34·14 = 476 cm^2
Luego la superficie lateral es
S1+S2+S3+S4 = 764 - 476 = 288 cm^2
Y el precio será
PVP = 476 · $1.2 + 288 · $1.5 = $571.20 + $432 = $1003.20
f)
Calculamos el volumen para x=7
V=4x(20-x)(10-x) = 4·7·(20-7)(10-7) = 28·13·3 = 1092 cm^3
La capacidad en litros se obtiene dividiendo entre 1000
1092 / 1000 = 1.092 litros
g)
Y cuando x=8 el volumen es
V=4·8(20-8)(10-8) = 32·12·2 = 768 cm^3 = 0.768 litros
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Y eso es todo.
Hola, buena tarde. conforme a estos resultados, necesito realizar un vídeo en el cual desarrollare el problema planteado y subirlo a Youtube, me puede recomendar como hacerlo?
Pues de eso si que no tengo ni idea. No cuesta nada buscar algún programa que capture lo que pase en la pantalla y el sonido de lo que tu quieras hablar. Pero no sé que programa te vendría bien para escribir el desrrollo.
Otra opción es grabarte con una webcam lo que escribas a mano y comentes, tanto sea en una pizarra como en un papel.
Yo es que no lo he hecho nunca, y me vendría muy bien alguna vez, pero no lo he hecho.
Saludos.
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Hola sobre este resultado, sería V= 800 - 120x^2 + 4x^3 pero aún falta la suma de esto ?
Si, tuve un fallo cuando hice este ejerccicio la primera vez y os lo he mandado mal a muchos. Cuando calcúlo la fórmula del volumen hay que corregir las líneas 2 y 3 que quedan así:
V=(40-2x)(20-2x)x
V=(800-120x+4x^2)x
V= 800x - 120x^2 + 4x^3
Ese fallo que tuve no afecto al resto ya que el volumen lo calculé con otra fórmula que era correcta.
Saludos.
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Respondo aquí a la duda de María Hernández porque en los comentarios no se puede escribir bien.
La fórmula de la superficie es
S(x) = 800 - 4x^2
Que si te fijas verás que los tres expertos hemos coincidido en ello
Entonces para calcular la superficie cuando x=3 se sustituye 3 en la fórmula
S(3) = 800 - 4·3^2
Yo creo que no has entendido que ^ significa "elevado a". Además, las potencias se efectúan antes que las multiplicaciones y estas antes que las sumas o restas
S(3) = 800 - 4 · 9 = 800 - 36 = 764 cm^2
En esta no coincidimos con la respuesta que te dan ni con Lucas pero es porque él se equivocó en el signo.
Saludos.
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Veamos...
S2 = S1 = x (20 – 2x)
S3 = S4 = x (40 - 2x)
S5 = (40 - 2x) (20 - 2x)
S = 2 x (20 – 2x) + 2 x (40 - 2x) + (40 - 2x) (20 - 2x)
Puede operar o dejarlo así... Aunque a mí me hubiese gustado la otra expresión
S = 40 * 20 - 4x^2
Que supongo que se debe deducir de la fórmula anterior, y es fácil de ver que la superficie es la superficie total (40*20) menos los 4 cuadrados (x^2)
V = S5 * x = (40 - 2x) (20 - 2x) x
Voy a reescribir V pues creo que de esta forma el resto de las preguntas saldrán directamente
V = (800- 120x + 2x^2) x
Con esta fórmula en mente intentá resolver las otras preguntas y donde tengas dudas avisá y lo vemos...
Saludos
a)
$$\begin{align}&S_2=S_1=x(20-2x)\\&\\&S_3=S_4=x(40-2x)\\&\\&S_5=(20-2x)(40-2x)\\&\\&S=2S_1+2S_3+S_5=2x(20-2x)+2x(40-2x)+(20-2x)(40-2x)\\&\\&S=40x-4x^2+80x-4x^2+800-40x-80x+4x^2=\\&=- 4x^2+800\\&\\&V=(20-2x)(40-2x)x\\&a) x=5 \Rightarrow V=(20-10)(40-10)5=10·30·5=1500 \ cm^3\\&b)x=2\\&S=4x^2+800=4·3^2+800=836 \ cm^2\\&c)\\&784=-4x^2+800\\&4x^2=800-784\\&4x^2=16\\&x^2=\frac{16}{4}=4\\&x=\sqrt 4=2 \ cm\\&d)\\&Si \ x=0\Rightarrow V=0 (no \ hay \ caja)\\&A=40·20=800 \ cm^2\\&e)\\&Superfici \ lateral:\\&A_L=2S_1+2S_3=2x(20-2x)+2x(40-2x)=6(14)+6(34)=288 \ cm^2\\&A_b=(20-2x)(40-2x)=14·34=476 \ cm^2\\&\\&1.5·288+1.2·476=1003,2 $\\&\\&f)V=(20-14)(40-14)7=1092 \ cm^3 \Rightarrow 1.092 \ L\\&g)\\&V=(20-16)(40-16)·8=4·24·8=768 \ \ cm^3 \Rightarrow 0.768 \ \ L\\&\end{align}$$Saludos
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Hola Valero Angel buena noche tengo una duda en el inciso b) piden que se encuentre la superficie de la caja si la altura es de 3 cmtu respuesta fue b)En la fórmula que habíamos encontrado para la superficie sustituimos x=2S = 800 - 4·3^2 = 800 - 4·9 = 800-36 = 764 cm^2mi duda es si x=2s=800-4*3(2)=800-4(el nuevo de donde sale se supone que se multiplica 3*2 da 6 espero me puedas sacar esta duda gracias )se supone que es 4*3(2)=800-4(6)=800-24=776 - Diana zapien
Te contesto en el mismo cuerpo de la pregunta. - Valero Angel Serrano Mercadal