Mediante el método de multiplicadores de lagrange, determine y clasifique los punto críticos de la función

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¡Hola Natalia!

La restricción la ponemos en forma de una función igualada a 0

fi(x,y,z) = xy+yz +2xz - 24 = 0

Entonces los puntos críticos de la la función F(x, y, z) restringidos a fi(x, yz)=0 son los de esta función g(x, y, z)

$$\begin{align}&g(x,y,z) = F(x,y,z)+\lambda\,\varphi(x,y,z)\\&\\&\text {donde }\lambda\text{ es un multiplicador de Lagrange}\\&\text{una constante que debemos calcular}\\&\\&g(x,y,z)=xyz+\lambda(xy+yz+2xz-24)\\&\\&\text{las derivadas parciales de g deber ser 0}\\&\\&\frac{\partial g}{\partial x}=yz+\lambda(y+2z) =0\implies\\&\\&\lambda=-\frac{yz}{y+2z}\\&\\&\frac{\partial g}{\partial y}=xz+\lambda(x+z)=0\implies\\&\\&xz-\frac{yz}{y+2z}(x+z)=0\implies\\&\\&xyz+2xz^2-xyz-yz^2=0\implies\\&\\&2xz^2-yz^2=0\implies (z=0)\quad o \quad (y=2x)\\&\\&\text{pero }xyz\neq 0\implies z\neq0\implies y=2x\\&\\&\\&\frac{\partial g}{\partial z}=xy+\lambda(y+2x)=0\implies\\&\\&x·2x -\frac{yz}{y+2z}(2x+2x) = 0\implies\\&\\&2x^2-\frac{2xz}{2x+2z}·4x=0\implies\\&\\&8x^3-8x^2z=0\implies\\&\\&8x^2(x-z)=0\implies (x=0)\quad o \quad (x=z)\\&\\&\text {como }xyz\neq 0\implies x\neq0\implies x=z\\&\\&\text{Y finalmete vamos a la ecuación de la restricción}\\&\\&xy+yz+2xz-24=0\\&\\&x·2x+2x·x+2·x·x=24\\&\\&2x^2+2x^2+2x^2=24\\&\\&6x^2=24\\&\\&x^2=4\\&\\&x=\pm 2\\&\\&\text{Los dos puntos críticos son:}\\&(2,4,2) \;y\;(-2, -4, -2)\\&\\&F(2,4,2) = 2·4·2=16\\&F(-2,-4-2)= (-2)·(-4)·(-2)=-16\\&\\&\text{Luego (2,4,2) es el máximo y (-2,-4,-2) el mínimo}\end{align}$$

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La Lagrangiana es:

$$\begin{align}&L=xyz+ \lambda(xy+yz+2zx-24)\\&\\&Las derivadas \ parciales:\\&L_x=yz+\lambda y+2 \lambda z=yz+\lambda(y+2z)\\&\\&L_y=xz+ \lambda x+ \lambda z=xz+ \lambda (x+z)\\&\\&L_z=xy+ \lambda y + 2 \lambda x=xy+\lambda(y+2x)\\&\\&L_{\lambda}=xy+yz+2zx-24\\&\\&Los \ puntos  \ críticos  \ tienen  \ estas  \ derivadas  \ parciales   \ nulas:\\&L_x=0  \Rightarrow y(z+\lambda)=-2 \lambda z \Rightarrow y=\frac{-2 \lambda z}{\lambda +z}\\&\\&L_y=0 \Rightarrow xz+ \lambda x + \lambda z=0  \Rightarrow  x=\frac{- \lambda z}{z+ \lambda}\\&\\&Sustituyendolas \ en \ Lz=0\\& \\& \frac{- \lambda z}{z+ \lambda} ·\frac{-2 \lambda z}{\lambda +z}+ \lambda (\frac{-2 \lambda z}{\lambda +z}+2 \frac{- \lambda z}{z+ \lambda})=0\\&\\&\frac{2 \lambda ^2 z^2}{(z+\lambda )^2}-\frac{2 \lambda ^2z}{\lambda +z}-\frac{2 \lambda ^2z}{\lambda +z}=0\\&\\&\frac{2 \lambda ^2 z^2}{(z+\lambda )^2}=\frac{4 \lambda ^2z}{\lambda +z}\\&\\&\frac{2 \lambda ^2 z^2}{4 \lambda ^2 z}=\frac{(z+ \lambda)^2}{z+\lambda}\\&\\&z=2(\lambda+z)\\&z=-2\lambda \Rightarrow x=\frac{- \lambda z}{z+ \lambda}=\frac{2 \lambda^2}{-\lambda }=-2 \lambda \\&\\&y=\frac{-2 \lambda z}{\lambda +z}=\frac{4 \lambda^2}{-2 \lambda+\lambda}=-4\lambda\\&\\&Sustituyendo \ x, y, z\\&en \\&L_{\lambda}=0\\&(-2\lambda)(-4 \lambda)+(-4 \lambda)(-2 \lambda)+ 2(-2 \lambda)(-2\lambda)-24=0\\&24 \lambda ^2-24=0\\&\lambda=1 \Rightarrow P(-2,-4,-2)\\&\lambda=-1 \Rightarrow Q=(2,4,2)\\&\end{align}$$

Hay dos puntos críticos

Saludos;

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