Encontrar la respuesta del siguiente ejercicio unidad 3 actividad 7 de estadística
La gerencia de un banco está interesada en determinar la probabilidad de errores en las operaciones de depósito. Si se auditan 5 000 de estas operaciones, ¿cuál es la probabilidad de encontrar entre 10 y 15 operaciones con error?
- Si se sabe que la probabilidad de cometer un error es de 0.005.
- Si se sabe que la probabilidad de cometer un error es de 0.3.
Justificar el uso el uso de las distribuciones normal o de Poisson como aproximación a la distribución real.
1 Respuesta
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¡Hola Antonio!
Las operaciones se pueden hacer, y con los ordenadores no hay ningún problema. Pero antiguamente no existían ni las calculadoras y se usaban aproximaciones a la distribución binomial.
La aproximación por una normal es siempre posible. Pero en determinados problemas s e puede usar la aproximación por Poisson que es incluso más sencilla de calcular.
Se puede usar la aproximación de Poisson cuando n es grande y p es pequeña. Eso sucede en el caso primero, sin embargo el problema es que debemos calcular una distribución de Poisson para cada valor desde el 10 hasta el 15. Por eso yo usaría en los dos casos la aproximación por una normal. Pero vamos a hacer el primero de las dos formas y vermos que método da mejor resultado.
1)
$$\begin{align}&\text{Por Poisson:}\\&\\&\lambda = np=5000·0.005= 25\\&\\&P(10\le X\le 15)=e^{-25}\sum_{i=10}^{15}\frac{25^i}{i!}=\\&\\&e^{-25}·1589259352=0.02207154467\\&\\&\text{Por normal llamémosla Y}\\&\mu_Y=np=25\\&\sigma_Y=\sqrt{np(1-p)}= \sqrt{25·(1-0.005)}=4.987484336\\&\\&\text{Se amplian con 0.5 los extremos ya que entran}\\&\\&P(10\le X \le 15)=P(9.5\le Y\le 15.5)=\\&\\&P\left(\frac{9.5-25}{4.987484336}\le Z\le \frac{15.5-25}{4.987484336}\right)=\\&\\&P(-3.107779184 \le Z \le -1.904767887) =\\&\\&P(Z \le -1.904767887) - P(Z\le-3.107779184) =\\&\\&1-P(Z \le 1.904767887)- (1- P(Z\le 3.107779184))=\\&\\&P(Z\le 3.107779184)-P(Z \le 1.904767887)=\\&\\&\text{Y esto lo haremos con Excel, es el siglo XXI}\\&\\&0.999057506- 0,971594875=0.027462631\\&\\&\\&\text{El valor verdadero se calcula con la formula de Excel}\\&=DISTR.BINOM.SERIE(5000;0,005;10;15)\\&\\&=0.021830421\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Se observa que la distribución de Poisson ha dado un valor mejor que la normal.
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2)
En este caso no se puede usar la distribución de Poisson ya que p=0.3 no es muy proxima a 0. Luego habrá que hacerlo con la normal.
$$\begin{align}&\mu_Y=np=5000·0.3 = 1500\\&\sigma_Y=\sqrt{np(1-p)}= \sqrt{1500·(1-0.3)}=32.40370349\\&\\&\text{Se amplian con 0.5 los extremos ya que entran}\\&\\&P(10\le X \le 15)=P(9.5\le Y\le 15.5)=\\&\\&P\left(\frac{9.5-1500}{32.40370349}\le Z\le \frac{15.5-1500}{32.40370349}\right)=\\&\\&P(-45.9978 \le Z \le -45.8127) =\\&\\&P(Z \le -45.8127) - P(Z\le-45.9978) =\\&\\&1-P(Z \le 45.8127)- (1- P(Z\le 45.9978))=\\&\\&P(Z\le45.9978)-P(Z \le 45.8127)=\\&\\&\text{Y esto desde el principio sabía que sería 0}\\&\\&1-1=0\\&\end{align}$$Y eso es todo, esepro que te te sirva y lo hayas entendido.
Saludos.
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