Como resolver esta ED homogénea
x (dy/dx) = y + [ √(x^2) + ( y^2 )],
x > 0
Por el método de susutitucion
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Xavier!
Como ya te decía otra vez, el signo de la raíz cuadrada es bonito pero no vale para anada por si solo, es preferible usar la notación
sqrt(...)
Ya que esto indica lo que hay dentro de la raíz.
Yo creo que quieres decir
x·dy/dx = y + sqrt(x^2 + y^2 )
$$\begin{align}&x· \frac {dy}{dx}= y+\sqrt{x^2+y^2}\end{align}$$Confírmamelo. Saludos.
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si es correcto lo que a descrito
Si pasamos la x a la derecha comprobaremos que es una ecuación diferencial homogénea
$$\begin{align}& \frac {dy}{dx}= \frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}\\&\\&\text{ya que llamando f(x,y) a la parte derecha tendremos}\\&\\& f(\lambda x,\lambda y) =\frac{\lambda y+\sqrt{(\lambda x)^2+(\lambda )y^2}}{\lambda x}=\\&\\&\frac{\lambda y+\lambda \sqrt{x^2+y^2}}{\lambda x}= \frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}=f(x,y)\\&\\&\text{Y el cambio en estos casos es }\\&\\&y=ux\\&\\&\frac{dy}{dx}= \frac {du}{dx}·x+u\\&\\&\frac {du}{dx}·x+u=\frac{ux+\sqrt{x^2+u^2x^2}}{x}\\&\\&\frac {du}{dx}·x=\frac{ux+\sqrt{x^2+u^2x^2}}{x}-u\\&\\&\frac {du}{dx}·x=\frac{ux+\sqrt{x^2+u^2x^2}-ux}{x}\\&\\&\frac {du}{dx}·x=\frac{\sqrt{x^2+u^2x^2}}{x}\\&\\&\frac {du}{dx}=\frac{ \sqrt{x^2+u^2x^2}}{x^2}=\frac{\sqrt{1+u^2}}{x}\\&\\&\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\frac {dx}{x}\\&\\&\text{Haz esa integral como te hayan enseñado}\\&\text{pero es inmediata }\\&\\&arg\,senh(u)=ln (Cx)\\&\\&\text{poniendo el valor de la función es}\\&\\&ln(u+\sqrt{1+u^2})=ln(Cx)\\&\\&u+\sqrt{1+u^2}=Cx\\&\\&\frac yx+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}=Cx\\&\\&\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}= Cx\\&\\&y+\sqrt{x^2+y^2}=Cx^2\\&\end{align}$$Y eso es todo, espero que e sirva y lo hayas entendido.
Saludos.
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