Como resolver este ejercicio de cónicas
En cada caso, hallar la ecuación de la parábola que posee los siguientes elementos:
a) foco (3, 0) y directriz x = -3 .
b) foco (0, 6) y directriz el eje x .
c) vértice (3, 2) y foco (5, 2) .
d) vértice en el origen, eje igual al de coordenadas x y pasa por (-3, 6) .
e) vértice (-2, 3) y foco (1, 3) .
La verdad que no se si hay una "fórmula" para aplicar, por lo tanto te voy a hacer el primero "a mano" e intentando deducir cada paso y te dejo el resto para que intentes resolverlo sacando las ideas de este mismo ejercicio.
a)
Vemos que la directriz es x=-3, por lo tanto se trata de una recta vertical y esto implica que la parábola estará "acostada"
Sabemos que el vértice está a mitad de distancia entre el foco y la directriz, así que V = (0,0)
Además sabemos también que el Lado Recto (LR) es igual a 4 veces la distancia focal (DF).
DF = F - V = 3
LR = 4 * 3 = 12
También sabemos que la parábola corta al LR en la mitad de su distancia (mitad para cada lado, teniendo los dos cortes entre la parábola y el LR)
Como la parábola es horizontal, otros dos puntos de la parábola son:
(Xf, Yf + LR/2) = (3, 0 + 12/2) = (3,6)
(Xf, Yf - LR/2) = (3, 0 - 12/2) = (3,-6)
y ya tenemos 3 puntos que son: (0,0); (3,6); (3,-6)
Como sabemos que la parábola es horizontal, planteamos la ecuación general: x = a y^2 + b y + c
y despejamos los valores de a,b,c para los puntos dados
0 = a 0^2 + b 0 + c = c
3 = a 6^2 + b 6 + c = 36a + 6b + c
3 = a (-6)^2 + b (-6) + c = 36a - 6b + c
Restando la ecuación (2) y (3) tenemos
0 = 12b ==> b = 0
Por lo tanto tenemos que
3 = 36a ==> a = 1/12
y la ecuación de la parábola queda
x = y^2 / 12
Con este ejercicio en mente intenta resolver los otros y si te surgen dudas comenta