¿Cómo resolver este ejercicio de Álgebra Lineal (matrices)?
El profesor sólo nos explicó la regla de Cramer pero en el taller coloca que lo podemos resolver por el método que creamos conveniente):
a) x + y + 2z + 3w = 13
x +2y+ z + w = 8
3x + y + z - w = 1
Les agradezco su ayuda, yo hice uno por medio de la regla de Cramer pero me arrojaba una matriz 3x3 pero esta es 3x4 y ahí si no sé que hacer!
1 Respuesta
Al tener más incógnitas que ecuaciones, seguro el sistema será indeterminado (con suerte :))
Yo lo voy a resolver triangulando la matriz mediante el reemplazo de ecuaciones por otra equivalentes
Original:
x + y + 2z + 3w = 13
x +2y+ z + w = 8
3x + y + z - w = 1
Paso 1
x + y + 2z + 3w = 13
0 + y - z - 2w = -5 (F2 = F2 - F1)
0 - 2y - 3z - 10w = -38 (F3 = F3 - 3F1)
Paso 2
x + y + 2z + 3w = 13
0 + y - z - 2w = -5
0 + 0 - 5z - 14w = -48 (F3 = F3 + 2F2)
Y a partir de ese sistema equivalente podemos despejar (ahora voy de abajo hacia arriba)
z = (-14w + 48) / 5 = -14/5 w + 48/5
y = z + 2w - 5 = -14/5 w + 48/5 + 2w - 5 = -4/5 w + 23/5
x = - y - 2z - 3w + 13 = 4/5 w - 23/5 - 2* (-14/5 w + 48/5) - 3w + 13 =
= 17/5 w - 54/5
y con esto en mente, las soluciones serán de la forma:
x = 17/5 w - 54/5
y = -4/5 w + 23/5
z = -14/5 w + 48/5
w = w
Completo un poco más la pregunta, en general una vez que llegas al último paso lo que se hace es reemplazar la variable en cuestión (en este caso "w"), por una que sea general, quedando que las soluciones son de la forma:
S = (17/5 , -4/5 , -14/5 , 1) t + (-54/5 , 23/5 , 48/5 , 0)
Fijate que el primer vector son los coeficientes que acompañan a "w" y el segundo vector los términos independientes