En análisis matemático se podrá demostrar la siguiente desigualdad?
En análisis matemático se podrá demostrar que ∀ϵ>0, a∈ N se cumple que
0<a+ϵ entonces 0≤a
Y que si esto, se pude
Se podría generalizar para h<a+ϵ entonces h≤a con h, a∈ N
¿Cómo serian las demostraciones?
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Jhon Eider!
$$\begin{align}&\\&\text{Supongamos }a\lt0\\&\\&\text{tomamos }\epsilon=\frac{|a|}{2}=\frac{-a}{2}\\&\\&\text{entonces }\\&\\&a+\epsilon=a+\frac{-a}{2}= \frac a2\lt0\\&\\&\text{Existe un número positivo }\epsilon= -\frac{a}{2} \text { tal que}\\&\\&0\gt a+\epsilon\\&\\&\text{absurdo, luego la suposición es falsa y se cumple}\\&\\&0\le a\\&\\&---------------------\\&\\&\text{Es parecido}\\&\text{Suponemos }h\gt a\implies h-a\gt 0\\&\text{tomamos } \epsilon=\frac{|h-a|}{2}=\frac{h-a}{2}\\&\\&\text{entonces }\\&\\&a+\epsilon=a+\frac{h-a}{2}=\frac{2a+h-a}{2}=\frac {h+a}{2}\\&\\&\text{como }h\gt a\implies\\&\\&h+h \gt h+a\implies \frac{h+h}{2}\gt \frac{h+a}{2}\implies h\gt \frac{h+a}{2}\\&\\&\text{Luego la cadena de desigaldades de arriba se complea con}\\&\\&a+\epsilon=\frac{h+a}{2}\lt h\\&\\&h\gt a+\epsilon\\&\\&\text{absurdo, luego la suposición es falsa y se cumple}\\&\\&h\le a\end{align}$$:
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