Problema calculo diferencial resolver punto 5

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¡Hola Albert!

Debemos calcular la función beneficio, en otros lugares llamada utilidad, por eso la designare U(x). Y la utilidad son los ingresos menos los gastos

I(x) = x · P(x)

Esta es la parte complicada, la de calcular el precio de venta al publico de cada unidad cuando se venden x unidades

Sabemos que si vende a 50 céntimos vende 200 helados, eso sería el punto (200, 50) de la recta de la demanda

Y si vendiera a 51 centimos vendería 198 por lo que nos dicen, luego el punto

(198, 51) es otro de la recta de la demanda

Y hay mil formas de calcular la recta que pasa por dos puntos. Yo te pongo de donde viene y el resultado ya eleborado.

$$\begin{align}&\text{Recta que pasa por }(x_1,y_1) \;y\;(x_2,y_2)\\&\\&\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\\&\\&\text{de donde tras pocos pasos se llega a}\\&\\&\quad y = y_1+\left(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)(x-x_1)\\&\\&\text{Tengamos en cuenta que para nosotros }y=P(x)\\&\text{los puntos eran }(200,50), \quad(198,51)\\&\\&P(x) = 50 + \frac{51-50}{198-200}(x-200)\\&\\&P(x)= 50-\frac 12(x-200)\\&\\&P(x) = 150-\frac x2\\&\\&\text{Con esto}\\&\\&I(x) = x·\left(150-\frac x2\right)= 150x-\frac{x^2}{2}\\&\\&C(x) = 40x\\&\\&U(x) = 150x-\frac{x^2}{2}-40x  = 110x -\frac {x^2}{2}\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0 para obtener el máximo}\\&\\&U'(x)=110-x=0\\&\\&x=110 \\&\\&U(110) =110·110 - \frac{110^2}{2}=  12100-6050 = 6050 \,céntimos\\&\\&\text{Beneficio máximo} =60.50€\\&\end{align}$$

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