Como hallar la interseccion entre dos subespacios?

·

·

¡Hola Mauricio!

a) S = {x ∈ R^3 : x1 − 2x2 = 0} y T= {x ∈ R^3 : x2 + x3 = 0}.

Son dos planos no paralelos luego su intersección es una recta, tiene dimensión 1

Tomamos dos coordenadas que cumplen la condición de S

(2, 1, ...)

Y hacemos que se cumpla la de T

B = {(2, 1, -1)}

·
b) S = a((1,−1, 3); (2, 1,−1)) y T= {x ∈ R^3 : x1 + x2 + x3 = 0}.

Ninguno de los vectores de S satisface las condiciones de T, luego S es un plano no paralelo a T y la intersección es una recta. La dimensión es 1.

Tomemos el vector (1,-1,3) mas una combinación del segundo y hagamos que cumpla la condición de T

(1, -1, 3) + k(2,1,-1) = (1+2k, -1+k, 3-k)

y hacemos que la suma de las tres sea 0

1+2k-1+k+3-k=0

2k = -3

k=-3/2

luego el vector sería

(1+-3, -1-3/2, 3+3/2) = (-2, -5/2, 9/2)

y para tomar otro más bonito lo multiplicamos por -2

B = {(4, 5, -9)}

Comprobamos que pertenece a T porque 4+5-9=0

Y que pertenece a S ya que -2(1,-1,3)+3(2,1,-1)=(4, 5, 9)

·

c) S = b((1, 2,−1); (2, 3, 2)) y T= e((0, 1, 1); (1, 0, 2)).

Son dos planos, calculamos los vectores directores

| i   j   k|

| 1 2  -1| = 7i -4j - k

| 2 3   2|

el vector director de S es (7, -4, -1), el plano 7x-4y-z=0

|i  j  k|

|0 1 1|= 2i + j -k

|1 0 2|

El vector director de T es (2, 1, -1), el plano es 2x+y-z=0

No son proporcionales, luego los planos no son paralelos y su intersección es una recta, tiene dimensión 1.

Y  el vector de la recta es el producto vectorial de los de los planos, luego

|i     j   k|

|7  -4  -1|=5i + 5j +15k

|2   1  -1|

lo podemos tomar más simplificado dividiéndolo por 5

B ={(1, 1, 3)}

Puedes comprobar que ese vector cumple las ecuaciones de los dos planos. Más difícil sería si quisieras comprobar que se pueden expresar como combinaciones lineales de los vectores de S y T, pero se puede hacer.

·

Y eso es todo, son muchos ejercicios, los otros dos bien podrías mandarlos cada uno en una pregunta.

Saludos.

·

"