Necesito este ejercicio resuelto dy/dx - 4y = 2xy^2 y(0)= -4 bernoulli

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¡Hola Edwin!

La ecuación de Bernoulli tiene esta forma canónica

$$\begin{align}&\frac {dy}{dx}+P(x)·y=Q(x).y^n\\&\\&\text{vemos que}\\&\\&\frac{dy}{dx}-4y = 2xy^2\\&\\&\text {lo cumple con }P(x) = -4,\;  Q(x)=  2x,\;  n=2\\&\\&\text{Dividimos todo por } y^n=y^2\\&\\&y^{-2}\frac {dy }{dx}-4y^{-1}=2x\\&\\&\text{hacemos el cambio }\\&z=y^{-n+1}\\&z=y^{-1}\\&\\&\\&\\&\frac{dz}{dx}=-y^{-2}·\frac {dy}{dx}\\&\\&\text{sustituyendo tenemos}\\&\\&-\frac{dz}{dx}-4z=2x\\&\\&\frac{dz}{dx}+4z=-2x\\&\\&\\&\text{que es una ecuación diferencial lineal con}\\&P(x)=4\\&Q(x)=-2x\\&\\&\text{Hacemos }\\&z=u(x)·v(x)\\&\text{y la teoría dice}\\&\\&v(x)=e^{-\int P dx} =e^{-\int4\;dx}= e^{-4x}\\&\\&u(x) = \int \frac{Q(x)}{v(x)}dx + C\\&\\&u(x) =\int-2xe^{4x}dx+C =\\&\\&u=-2x\qquad\quad du=-2dx\\&dv = e^{4x}dx\quad  v=\frac 14 e^{4x}\\&\\&=-\frac 12xe^{4x}+\frac 12\int e^{4x} dx+C=\\&\\&-\frac 12xe^{4x}+\frac 18 e^{4x} +C\\&\\&z=u(x)·v(x)=-\frac 12x+\frac 18+Ce^{-4x}\\&\\&\text{el cambio fue}\\&z=y^{-1}\\&\\&y=\frac 1z\\&\\&y=\frac{1}{-\frac 12x+\frac 18+Ce^{-4x}}\\&\\&y=\frac{8}{-4x+1+Ce^{-4x}}\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sira y lo hayas entendido.

Saludos.

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¡Gracias!