Como puedo resolver este ejercicio de bernoulli dr/d°=r^2+2r°/°^2

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¡Hola Edwin!

Ha salido un símbolo un poco raro para la variable independiente, usaré theta.

Se reconoce desde lejos que es una ecuación homogénea ya que

$$\begin{align}&f(\lambda r, \lambda\theta)=\frac{\lambda^2r^2+2\lambda^2r\theta}{\lambda^2\theta^2}=\frac{r^2+2r\theta}{\theta^2}=f(r,\theta)\\&\\&\text{hacemos el cambio}\\&\\&r=u\,\theta\\&\\&\frac{dr}{d\theta}=\frac{du}{d\theta}·\theta+u\\&\\&\text{lo aplicamos a la ecuación}\\&\\&\frac{du}{d\theta}·\theta+u=\frac{u^2\theta^2+2u\theta^2}{\theta^2}\\&\\&\frac{du}{d\theta}·\theta+u=u^2+2u\\&\\&\frac{du}{d\theta}·\theta=u^2+u\\&\\&\frac{du}{u^2+u}=\frac {d\theta}{\theta}\\&\\&\text{vaya, una integral no inmediata, hacemos fracciones simples}\\&\\&u^2+u=u(u+1)\\&\\&\frac{1}{u^2+u}=\frac{a}{u}+\frac{b}{u+1}=\frac{au+a+bu}{u^2+u}\\&\\&a+b=0\\&a=1\implies b=-1\\&\\&\int\left(\frac 1u-\frac{1}{u+1} \right)du = \int\frac{d\theta}{\theta}\\&\\&\text{Pongo la cosntante a la izquierda porque irá mejor}\\&\text{aunque eso solo lo vi al final, tras ponerla a la derecha}\\&\\&ln C + ln\,u-ln(u+1)=ln\theta\\&\\&ln\left(C·\frac u{u+1}\right)=ln \theta\\&\\&C·\frac u{u+1}=\theta\\&\\&\text{como }\quad r=u\theta\implies u=\frac r\theta\\&\\&C·\frac {\frac{r}{\theta}}{\frac{r}{\theta}+1}=\theta\\&\\&C·\frac{r}{r+\theta}=\theta\\&\\&Cr=r\theta+\theta^2\\&\\&r(C-\theta) = \theta^2\\&\\&r=\frac{\theta^2}{C-\theta}\\&\\&\\&\end{align}$$

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