Aplicación de la trigonometria al calculo de distancias

Suponiendo que ambos amigos viajan a velocidades constantes y describen una trayectoria rectilínea tendremos una situación como la descrita en el siguiente gráfico:

Puedes observar que el triángulo AGH y el triángulo ACD son semejantes, además, del triángulo AGH conocemos dos de sus lados y un ángulo por lo que podemos conocer la longitud del segmento GH aplicando el teorema del coseno, en este caso:

$$\begin{align}&GH^2=AG^2+AH^2-2 \cdot AG \cdot AH \cdot cos60=9100 \Rightarrow GH=95.4\;Km \end{align}$$

Una vez conozco el valor del segmeno GH, aplicando el teorema de Tales podré calcular la longitud de los segmentos AC y AD:

$$\begin{align}&\frac{AC}{AG}=\frac{AD}{AH}=\frac{CD}{GH}=\frac{100}{95.4}=1.05\\\\&AC=1.05 \cdot AG=1.05 \cdot 90 =94,5\;Km\\\\&AD=1.05 \cdot AH=1.05 \cdot 100=105\;Km\end{align}$$

Por tanto, ya podemos calcular el tiempo teniendo en cuenta las distancias recorridas y las velocidades constantes. Para el coche que se desplaza a 90 Km/h tenemos:

$$\begin{align}&\triangle t =\frac{\triangle r}{v}=\frac{94.5}{90}=1.05\;horas\end{align}$$

Para el que se desplaza a 100 Km/h:

$$\begin{align}&\triangle t =\frac{\triangle r}{v}=\frac{105}{100}=1.05\;horas\end{align}$$

Lógicamente, el tiempo transcurrido para ambos es el mismo. Así que, cuando transcurra un tiempo superior a 1.05 horas perderán el contacto vía walkie-talkie.

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¡Hola Juana!

Es una aplicación clara del teorema de los cosenos.

Un lado medira 90t km, el otro 100t km y el ángulo entre ellos es 60º.

El teorema de los cosenos nos dice cuánto mide el tercer lado del triángulo que es la distancia entre los dos amigos.

$$\begin{align}&a^2 = b^2+c^2-2bc·\cos\alpha\\&donde\\&b=90t\; km\\&c=100t \;km\\&\alpha = 60º\\&\\&\text{a debe ser menor o igual a 100 luego}\\&\\&90^2t^2+100^2t^2-2·90t·100t·\frac 12\le100^2\\&\\&8100t^2 + 10000t^2-9000t^2 \le 10000\\&\\&9100 t^2 \le 10000\\&\\&t^2 <\frac{10000}{9100}=\frac{100}{91}\\&\\&t\le \frac{10}{\sqrt {91}} horas\\&\\&\text{Como a los profesores no les gustan las raíces}\\&\text{en los denominadores vamos a racionalizar}\\&\\&t=\frac{10 \sqrt {91}}{91} horas\\&\\&\text{Y en forma comprensible es}\\&\\&t\approx 1.048284837 horas\\&\\&1h +0.048284837\times 4min = 1h\;2.87909203m\\&\\&1h\;2m + 0,87909203\times 60 = 1h\;2m\;53.8254122s\\&\\&\text{Por no abusar de decimales}\\&\\&t\approx 1h\;2m\;53.82s\\&\\&\text{He redondeado a la baja, me parece más acertado}\end{align}$$