Ecuación trigonométrica con calculo del valor de x

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¡Hola David...!

Ya resolví este ejercicio en otra pregunta. Allí lo hice sobre la marcha, ahora que ya sé los problemas que puede haber lo resuelvo mejor.

Pondremos el coseno al cuadrado del ángulo mitad en función del coseno del ángulo normal. Hay una fórmula que usamos mucho en las integrales que dice

$$\begin{align}&\cos^2x =\frac{1+\cos 2x}{2}\\&\\&\text{Cambiando x por x/2 queda esta}\\&\\&\cos^2 \frac x2 = \frac{1+\cos x}{2}\\&\\&\text{Y con esto vamos a la ecuación}\\&\\&\frac{1+\cos x}{2}·cosx = \frac 14\\&\\&\frac{cosx +\cos^2x}2 = \frac 14\\&\\&4cos^2x+4cosx =2\\&\\&2cos^2x +2cosx -1=0\\&\\&\cos x= \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}\end{align}$$

Como esas dos respuestas deben ser dos cosenos vamos a ver si son buenas, deben estar comprendidas entre -1 y 1

x_1 = 0.3660254038    SIRVE

x_2 = -1.366...              NO SIRVE

Luego solo la respuesta 1 es válida. Asímismo debemos fijarnos que hay dos ángulos con el mismo coseno, ya que ángulos opuestos tienen el mismo coseno

$$\begin{align}&\text{Las respuestas formales son}\\&x_1= arccos \left(\frac{-1+ \sqrt{3}}{2}\right)+2k\pi \quad k\in \mathbb Z\\&x_2=-x_1\\&\\&\text{Y los valores aproximados son}\\&\\&x_1=1.1961rad+2k\pi;\qquad68.5293º+360kº;\quad k\in \mathbb Z\\&x_2 = -1.1961rad+2k\pi;\quad -68.5293º+360kº;\quad k\in \mathbb Z\\&\end{align}$$

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