Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto que se mueve de manera que el producto de las ...
La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos (0,0) y (6,0). Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto que se mueve de manera que el producto de las tangentes de los ángulos de las bases es siempre igual a 4.
1 respuesta
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¡Hola Lola!
Sea (x, y) un punto de ese lugar geométrico.
La tangentede un ángulo es el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente.
La tangente del ángulo que forma con la recta que pasa por (0,0) es
(y-0) / (x-0) = y/x
Y la tangente del ángulo que forma con la recta que pasa por (6,0) es
(y-0) / (x-6) = y/(x-6)
El producto de estas dos tangentes debe ser 4
$$\begin{align}&\frac yx · \frac{y}{x-6} = 4\\&\\&\frac{y^2}{x^2-6x} = 4\\&\\&y^2 = 4(x^2 - 6x)\\&\\&\text{Si lo quieres como función de dos ramas}\\&\\&y = \pm 2 \sqrt{x^2-6x}\\&\\&\text{Si quieres saber la figura que encierra}\\&\\&y^2=4\left[(x-3)^2-9\right] \\&\\&4(x-3)^2-y^2=36\\&\\&\frac{(x-3)}{3^2}-\frac{y^2}{6^2}=1\\&\\&\text{Es una hipérbola con centro en(3,0)}\\&\text{Con eje transversal el eje X}\\&\text{Con distancia entre vértices 2a }=2·3=6\\&\text{Con distancia entre focos 2c=}2 \sqrt{6^2-3^2}=6 \sqrt 3\end{align}$$
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La respuesta se supone que debería ser una elipse: 4x² + y² - 24x = 0
Es la que se encuentra en medio de la hipérbola?
¿Esa es la respuesta que te han dado?
Creo que solo es una cuestión de interpretación. Yo consideré como tangente la de los ángulos que se forman con el semieje OX+ que es la forma estandar de medir ángulos y se usa en las derivadas por ejemplo. Mientras que por lo que veo el ejercicio considera los ángulos interiores al triángulo.
Entonces la primera tangente sigue siendo
y/x
pero la segunda cambia de signo
-y(x-6)
$$\begin{align}&\frac yx · \frac{-y}{x-6} = 4\\&\\&\frac{-y^2}{x^2-6x} = 4\\&\\&-y^2 = 4(x^2 - 6x)\\&\\&\text{Si lo quieres como función de dos ramas}\\&\\&y = \pm 2 \sqrt{-x^2+6x}\\&\\&\text{Si quieres saber la figura que encierra}\\&\\&-y^2=4\left[(x-3)^2-9\right] \\&\\&4(x-3)^2+y^2=36\\&\\&\frac{(x-3)}{3^2}+\frac{y^2}{6^2}=1\\&\\&\text{Es una elipse con centro en (3,0)}\\&\text{Con eje transversal el eje Y ya que el semieje en Y es mayor}\\&\text{Por lo tanto semieje mayor a=6, menor b=3}\\&\text{Con distancia entre vértices 2a }=2·6=12\\&\text{Con distancia entre focos 2c=}2 \sqrt{6^2-3^2}=6 \sqrt 3\end{align}$$Esta es la gráfica:
Y eso es todo, saludos.
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