Desigualdades: Calcular el menor valor de:

·

·

¡Hola Luis Alberto!

Considera la función sumatorio de e^(x_k) con k=1,...,10

Es una función de 10 variables y vamos a calcular su mínimo ligado a la condición de que la suma de las 10 variables es 0.

Ese mínimo se calcula con el método de los multiplicadores de Lagrange.

$$\begin{align}&f(x_1,x_2,...,x_{10})=\sum_{k=1}^{10}e^{x_k}\\&\\&\varphi(x_1,x_2, ...,x_{10})=x_1+x_2+...+x_{10}\\&\\&\text{Se forma un sistema de 11 ecuaciones}\\&\\&\frac{\partial f}{\partial x_1}+\lambda·\frac{\partial \varphi}{\partial x_1}=0\\&·\\&·\\&·\\&\frac{\partial f}{\partial x_{10}}+\lambda·\frac{\partial \varphi}{\partial x_{10}}=0\\&\\&x_1+...+x_{10}=0\\&\\&\text{que son}\\&\\&e^{x_1}+\lambda=0\\&·\\&·\\&·\\&e^{x_{10}}+\lambda=0\\&x_1+....+x_{10}=0\\&\\&\text{de las 10 primeras se deduce }x_1=x_2=...=x_{10}\\&\\&\text{Luego en la 11 queda}\\&\\&10x_1=0\\&\\&x_1=0\\&\\&x_1=x_2=...=x_{10}=0\\&\\&\text{Y la suma con esos valores de }x_i \;es:\\&\\&\sum_{k=1}^{10}e^{x_k}= \sum_{k=1}^{10}e^0= \sum_{k=1}^{10}1=10\end{align}$$

Eso o es un máximo o es un mínimo, al no haber más puntos criticos basta probar con otro y veremos lo que es:

e^(-2) + e^0+ e^0 + ......+ e^0 + e^2 =

8 + e^{-2}+ e^2 > 10  se ve a ojo

Luego 10 tiene que ser el mínimo.  La respuesta es la c)

:

: