Calculo de tangentes en trigonometría
Alguien me puede aclarar si en todo triangulo se cumple que la suma de sus tres tangentes es igual al producto de las mismas tangentes o eso solo se cumple en el triangulo rectángulo. Alguien sabe explicar eso y que en primero de bachillerato lo entendamos...
2 Respuestas
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¡Hola Juana!
Qué cosa más curiosa, no lo había visto nunca, de primeras se me ocurre que tiene que ser falso pero voy a comprobarlo.
Primero vaoy a tomar un tríangulo cualquiera para probar, por ejemplo de
50º, 60º y 70º
tg 50º + tg 60º + tg 70º = 5.67128182
Tg 50º · tg 60º · tg 70º = 5.67128182
Bueno, pues me he quedado sorprendido, debe ser verdad.
Luego te mando la demostración, imagino que no será muy difícil.
Saludos.
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La propiedad que tienen los ángulos del triangulo es que suman 180º.
Necesitaremos alguna identidad trigonométrica ya de las fuertes, en concreto esta
$$\begin{align}&tg(a-b)=\frac{tg\,a-tg\,b}{1+tg\,a·tg\,b}\\&\\&\text{Los ángulos del triángulo serán:}\\&\\&a, b, 180º-(a+b)\\&\\&tg\,a+tg\,b+tg[180º-(a+b)] =\\&\\&tg\,a+tg\,b+\frac{tg 180º- tg (a+b)}{1-tg 180º·tg(a+b)}\end{align}$$Vaya, hemos pinchado en hueso, la tangente de 180º no existe ya que es una división por cero.
Tendremos que averiguar de otra forma cómo es la tangente de (180º-a), la tangente del ángulo suplementario de a.
El seno de ángulos suplementarios es el mismo y el coseno de ángulos suplementarios es opuesto, luego la tangente que es el cociente seno/coseno será opuesta
tg(180º-a) = -tg a
Volvemos a las cuentas que estábamos haciendo
$$\begin{align}&tg\,a+tg\,b+tg[180º-(a+b)] =\\&\\&tg\,a+tg\,b-tg(a+b) =\\&\\&\text{Y aplicamos otra identidad de esas}\\&\\&tg\,a+tg\,b-\frac{tg\,a+tg\,b}{1-tg\,a·tg\,b}=\\&\\&\frac{tg\,a -tg^2a·tg\,b+tg\,b-tg\,a·tg^2b-tg\,a-tg\,b}{1-tg\,a·tg\,b}=\\&\\&\frac{-tg^2a·tg\,b-tg\,a·tg^2b}{1-tg\,a·tg\,b}\\&\\&\\&\text{Y por otra parte el producto es}\\&\\&tg\,a·tg\,b·[-tg(a+b)]=\\&\\&-tg\,a·tg\,b·\frac{tg\,a+tg\,b}{1-tg\,a·tg\,b}=\\&\\&\frac{-tg^2a·tg\,b-tg\,a·tg^2b}{1-tg\,a·tg\,b}\\&\\&\end{align}$$Luego la suma y el producto de las tangentes de un triángulo vale lo mismo.
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¡Gracias! Y esto.es duro roer a los 16 años.. socorro quiero profe normal
¡Vaya fallo tuve! Aunque no afecta al resultado.
Cuando dije que la tangente de 180º no existía porque se dividía por cero era falso, la tangente de 180º es 0. Entonces no tenía que haber abandonado el primer intento que hice. Mi resolución completa es esta:
Los tres ángulos miden 180º luego son
a, b, 180º-(a+b)
Si alguno de ellos es 90º no está definida la tangente, luego deben ser todos dsitintos de 90º.
La suma de las tres tangentes es:
$$\begin{align}&tg\,a+tg\,b+tg\,c= \\&\\&tg\;a+tg\,b+tg[180º-(a+b)]=\\&\\&\text{Aplicamos que }tg(x-y)=\frac{tg\,x-tg\,y}{1+tg\,x·tg\,y}\\&\\&=tg\,a+tg\,b+\frac{tg\,180º- tg(a+b)}{1 - tg\,180º·tg(a+b)}=\\&\\&\text{Como }tg\,180º=0\\&\\&=tg\,a+tg\,b-tg(a+b)=\\&\\&\text{aplicando }tg(x+y)=\frac{tg\,x+tg\,y}{1-tg\,x·tg\,y}\\&\\&=tg\,a+tg\,b-\frac{tg\,a+tg\,b}{1-tg\,a·tg\,b}=\\&\\&\frac{tg\,a-tg^2a·tg\,b+tg\,b-tg\,a·tg^2b-tg\,a-tg\,b}{1-tg\,a·tg\,b}=\\&\\&\frac{-tg^2a·tg\,b-tg\,a·tg^2b}{1-tg\,a·tg\,b}=\\&\\&tg\,a·tg\,b·\left(-\frac{tg\,a+tg\,b}{1-tg\,a·tg\,b} \right)=\\&\\&tg\,a·tg\,b·(-tg(a+b))=\\&\\&tg\,a·tg\,b·tg(180º-(a+b))=\\&\\&tg\,a·tg\,b·tg\,c\end{align}$$Bueno, pues no sé si así ha quedado más complicado que como lo hice antes, quédate con la mejor te parezca o con la de Mario que está muy bien, aunque yo la veo más difícil de imaginar.
Saludos.
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