Cómo resuelvo el siguiente problema de estadística?

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¡Hola Razvan!

El teorema central del límite dice que la media de n variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas se comporta de forma similar a una normal cuya media es la media de las varibles y cuya desviación es la desviación de las variables dividida entre la raíz del numero de variables. Bueno, hay otras definiciones en que en vez de hablar de la variable media habla de la variable suma, tendría que saber cuál estás dando tú. Yo lo haré con lña media que es como estoy acostumbrado

$$\begin{align}&Sean \{X_1,X_2,...,X_n\}  \text{variables independientes}\\&\text{igualmente distribuidas, con}\\&\mu=E(X_i)\\&\sigma^2=V(X_i)\\& entonces\\&\\&\overline X=\sum_{i=1}^n X_i\sim N\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt n}\right)\\&\\&\text{Y cuanto mayor es N más se parece }\overline X \text{a la normal}\\&\\&\text{Si lo sabes o buscas las características de la distribución}\\&\text {exponencial tendrás}\\&\\&E(X)=\frac{1}{\lambda}\qquad V(X)=\frac{1}{\lambda^2}\\&\\&\text {luego}\\&\\&\sigma=\sqrt {\sigma^2=}\sqrt{V(X)}=\frac 1{\lambda}=E(X)=\mu\\&\\&\text {asi que}\\&\\&\overline X \sim N\left(36, \frac {36}{\sqrt{16}}  \right)=N(36,9)\end{align}$$

Y como lo he hecho con la media tengo que usar la media de la suma que nos dan.

1260 / 16 = 78.75

Entonces debo calclar la probabilidad de que la normal que había escrito sea menor que 78.75. A simple vista se ve que va a ser una probabilidad altísima.

$$\begin{align}&P(\overline X\le 78.75)\approx P(N(36,9)\le78.75)=\\&\\&\text{tipificamos a una } Z \sim N(0,1)\\&\\&P\left(Z\le \frac{78.75-36}{9}  \right)=\\&\\&P(Z\le4.75)=\\&\\&\text{ni siquiera sale en las tablas, Excel dice}\\&\\&=0,999998983\\& \\&\text{Practicamente 1}\end{align}$$

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