Hallar la función de densidad

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¡Hola Atom Valenz!

Ya hicimos la primera función de densidad y vamos a hacer la segunda. Los cálculos los hice un poco anárquicamente pero existe una fórmula para el calculo de la función de densidad de la suma de dos variables, es esta:

$$\begin{align}&Si\:\; Z=X+Y\\&\\&f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)·f_Y{}(z-x)\;dx\end{align}$$

lo que pasa es que siendo distribuciones uniformes las funciones de densidad que sumaba en el problema anterior eran las costantes 1/3 y 1/6 y se hacía fácil sin integral, lo que más me molestaba era como saber los diferentes intervalos hasta que al final conseguí el método y lo de las integrales lo deje, ya tenía bastante.

V= 3X - Y

La variable 3X es muy sencilla, si X es uniforme en [-1, 2] la variable 3X es uniforme en [-3, 6]  es proporcional como si fuese un fotograma proyectado en el cine y la función de densidad será

f_3X(x) = 1/( longitud intervalo) = 1/9

Y si 3X tiene probabilidad no nula en [-3,6] si le restamos una [-1,2] los valores de V donde hay probabilidad no nula serán

[-3-2, 6+1] = [-5, 7]

Ahora hagamos las deducciones que nos permitan dividir adecuadamente este intervalo en trozos donde se pueda usar la misma función de densidad

$$\begin{align}&V=3X-Y\\&\\&Y=3X-V\\&\text{Como }3X \in [-3,6]\implies\\&Y\in[-3-v,\;6-v]\cap[-1,\,2]\\&Si\;-3-v\le-1\implies v\ge-2\implies Y\ge-1\\&Si \;6-v\ge2\implies v\le 4 \implies Y\le2\\&\\&\text{Y por otra parte}\\&3X=V-Y\\&\text{Como }Y\in[-1,2]\implies\\&3X\in[v-2,\;v+1]\cap[-3,\;6]\\&Si\;v-2\le-3\implies v\le -1\implies 3X\ge-3\\&Si\;v+1\ge6\implies v\ge5\implies3X\le6\\&\\&\text{Los punto de V con características cambiantes son}\\&-2,-1,4,5\\&\text{luego habrá que dividir en 5 intervalos, mas los de}\\&\text{principio y final con función de densidad 0}\\&\text{No es necesario calcular los extremos de 3X}\\&\text{pero los calcularé para practicar}\\&\\&\text{1)  Si }-\infty \lt v\lt -5 \implies f_V(v)=0\\&\\&\text {2) Si }-5\le v\le -2  \implies \\&Y \in[-3-v,2];\quad3X \in[-3,v+1]\\&\\&f_V(v)=\int_{-3-v}^2 \frac 13·\frac 19dy=\frac 1{27}(5+v)\\&\\&\\&\text{3)  Si } -2\le v\le -1\implies\\&Y\in[-1,2];\quad 3X \in [-3, \;v+1]\\&\\&f_V(v)=\int_{-1}^2 \frac{1}{3}·\frac 19dy = \frac 19\\&\\&\\&\text{4) Si }-1\le v \le 4\implies\\&Y\in [-1,2];\quad 3X \in [v-2,v+1]\\&\\&f_V(v)=\int_1^2 \frac 13·\frac 19dy=\frac 19\\&\\&\text{Como ves, la función de densidad es la }\\&\text{misma que en el trozo anterior, los puedes}\\&\text{juntar en uno }-2\le v\le4\\&\\&\\&\text{5) Si }4\le v\le 5\implies\\&Y\in[-1,6-v];\quad 3X\in[v-2,v+1]\\&\\&f_V(v)=\int_{-1}^{6-v}\frac 13·\frac 19dy=\frac 1{27}(7-v)\\&\\&\\&\text{6)  Si }5\le v\le 7\implies\\&Y\in [-1,6-v];\quad 3X \in[v-2,6]\\&\\&f_V(v)=\int_{-1}^{6-v}\frac 13·\frac 19dy=\frac 1{27}(7-v)\\&\\&\text{Estos intervalos 5 y 6 se pueden juntar en 1}\\&\text{con }4\le v\le7\\&\\&\text{7)  Si }v\gt 7\implies f_V(v)=0\\&\end{align}$$

No se puede escribir ya más en esa caja.  Recapitularemos en otra.

$$\begin{align}&f_V(v)=\frac{5+v}{27}\quad Si\; v\in[-5,-2)\\&\\&\qquad\qquad  \frac 19\qquad\; Si\;v\in[-2,4]\\&\\&\qquad\quad \frac{7-v}{27}\quad \; Si\;v\in(4,7]\\&\\&\qquad\qquad 0\qquad \text{En caso contrario}\\&\\&\text{Lo comprobaremos}\\&\\&\frac 1{27}\int_{-5}^{-2}(5+v)dv+\frac 69+\frac 1{27}\int_4^7(7-v)dv=\\&\\&\frac 23+\frac 1{27}\left( \left[5v+\frac {v^2}{2}  \right]_{-5}^{-2}+ \left[7v-\frac {v^2}2  \right]_4^7\right)=\\&\\&\frac 23+\frac 1{27}\left(-10+2 + 25-\frac {25}2  +49-\frac{49}{2}-28+8\right)=\\&\\&\frac 23+\frac 1{27}\left(46-\frac {74}2 \right)=\frac 23+\frac 1{27}·9=\frac 23+\frac 13=1\end{align}$$

Bueno, pues está bien.  Y lo suyo que me ha costado.  A ver si la próxima ya la hago bien y sin hacer operaciones extra.  En esta he aprendido que si estaba integrando respecto a "y" los intervalos originados por cambios en 3X no alteraban el valor de la integral, es decir que solo había cambios de función de densidad en los puntos -2 y 4 que era donde cambiaba algo para la variable Y.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Sé que tienes otra pregunta de una función de densidad pero ni la he visto ni la veré en horas.

Saludos.

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