Cómo se resuelve el problema de procesos estocásticos?
Dado el proceso estocástico de tiempo continuo: x(t) = A*cos(w*t + |θ|), donde θ es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [-π, π] y
{ + θ si θ >= 0
|θ| = {
{ - θ si θ < 0
a) Calcular la media del proceso estocástico x(t)
b)Calcular la autocorrelación Rx(t1, t2)
Nota: Identidad trigonométrica cos(a)*cos(b) = 1/2*[cos(a+b) + cos(a-b)]
1 Respuesta
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¡Hola Razvan!
La función coseno es periódica con periodo 2pi. El hecho de añadir una cantidad aleatoria entre 0 y Pi al argumento de la función no influye para nada en que haya unos valores que salgan más y otros menos que si no se añadiera nada. Luego para calcular la media podemos prescindir de esta componente aleatorio y calcular la media de la función computando un periodo completo.
El periodo completo de cos(t) es 2Pi, pero el de cos(wt) es 2Pi/w
Hallaremos la integral entre 0 y 2Pi/w y dividiremos por 2Pi/w
$$\begin{align}&E(x(t))=\frac{\int_0^{2\pi/w}x(t)dt}{2\pi/w}=\\&\\&\frac{\int_0^{2\pi/w} A \cos wt \;dt}{2\pi/w}=\frac{Asen\, wt\bigg|_0^{2\pi/w}}{2\pi/w}=\\&\\&\frac{A(sen2\pi-sen0)}{2\pi/w}=0\end{align}$$Era lo lógico, la función coseno tiene tanto por arriba como por abajo del eje X.
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Lo de la autocorrelación no lo sé. Si me dices dóde está o pones la fórmula a lo mejor puedo hacerlo.
Saludos.
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