Hallar la función de densidad discreta.
Valor absoluto ( Y-X)
Hola expertos, necesito hallar la función de densidad para el valor absoluto de la diferencia (Y-X)
1 Respuesta
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¡Hola Atom!
Z = |Y-X|
Como en todos los anteriores el número de casos posibles es el de los pares ordenados (x, y) y son N^2
Los valores posibles serán [0, 1, 2, N-1]
Veamos los casos favorables:
Z=0 si (1,1), (2,2), ..., (N,N) son N casos favorables
Z=1 si (1,2), (2,3),..., (N-1,N), (2,1),(3,2), ..., (N,N-1) = 2(N-1) favorables
Z=2 si (1,3),(2,4),..., (N-2,N), (3,1),(4,2), ..., (N,N-2) = 2(N-2) favorables
Z=k si (1,1+k),(2,2+k),...(N-k,N), (1+k, 1),...,(N,N-k) = 2(N-k) favorables
Luego la función de densidad (probabilidad) es
P(0) = N/N^2 = 1/N
P(k) = 2(N-k)/N^2 para 1<=k <= N-1
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señor Valero, muchas gracias, sólo tengo una inquietud, ¿Éstas densidades también se pueden comprobar que valen 1 ?
Si, claro, la suma de las probabilidades debe valer 1.
Eso es equivalente a probar que la suma de los casos favorables es N^2. Eso será así si se calcula bien el rango de la variable aleatoria Z y hacemos que todos los casos posibles vayan a uno y solo un valor de Z. No obstante se puede comprobar.
En este caso sería:
$$\begin{align}&\frac 1{N}+\sum_{k=1}^{N-1}\frac{2(N-k)}{N^2}=\\&\\&\frac 1{N}+\frac 2{N^2}\sum_{k=1}^{N-1}(N-k)=\\&\\&\frac 1{N}+\frac{2}{N^2}\left(N(N-1)+ \sum_{k=1}^{N-1}(-k) \right)=\\&\\&\frac{1}{N}+\frac{2(N-1)}{N}-\frac{2}{N^2}\sum_{k=1}^{N-1}k =\\&\\&\frac{1+2N-2}{N}-\frac{2}{N^2}·\frac{(N-1)(N-1+1)}{2}=\\&\\&\frac{2N-1}{N}-\frac{2}{N^2}·\frac{(N-1)·N}{2}=\\&\\&\frac{2N-1}{N}-\frac{N-1}{N}=\frac{N}{N}=1\end{align}$$Saludos.
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Disculpe señor Valero, para p(0) = 1/N èste no tiene un conjunto en el cual corre? es decir algún k en {1,2..,N} o sólo se que da así tal cual 1/N.
La variable alatoria Z puede tomar valores {0, 1, 2, ..., N-1}
Las probabilidades son estas
P(0) = N/N^2 = 1/N
P(k) = 2(N-k)/N^2 para 1<=k <= N-1
La del cero está puesta aparte porque no sigue la regla que sirve para las otras. Pero para comprobar que la suma de todas es 1 también debe sumarse.
¿No entiendo qué quieres decir en la pregunta.?
Saludos.
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No sé si estás confundido porque el 0 no pertenece a X e Y, pero pertenece a Z, que es la variable de la cual hemos hallado las probabilidades.
Saludos.
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