¿Cómo se determinan Límites y continuidad de funciones?
Es una pregunta de cálculo diferencial, se trata de determinar el valor de a y de b, para que una función sea continua en x.
1 respuesta
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¡Hola Francisco!
En la función izquierda se hace cero el denominador cuando x tiende a 2, si el denominador tuviera cualquier valor positivo o negativo, el límite del cociente sería infinito y no podría ser continua la función. Luego para poder continuar, la primera condición es que el numerador valga 0 para x=2
2^2 - a·2 - 6 = 0
4 -2a - 6 = 0
-2 = 2a
a=-1
Ahora ya sabemos el valor de a, vamos a calcular el límite por la izquierda
$$\begin{align}&\lim_{x\to 2^-}\frac{x^2+x-6}{x-2}=\\&\\&\text{ya sabíamos que x=2 era un raíz, luego}\\&\\&x^2+x-6 = (x-2)(x+b)\\&\\&\text{para que salga el -6 debe ser b=3, en efecto}\\&\\&(x-2)(x+3) = x^2-2x+3x-6=x^2+x-6\\&\\&\text{sustituimos en el límite}\\&\\&=\lim_{x\to 2^-}\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}=\lim_{x\to 2^-}(x+3)=5\\&\\&\text{Y este límite debe coincidir con el derecho y el valor}\\&\text{de la función, que se obtienen los dos al alimón}\\&\\&\lim_{x\to 2^+}g(x)=g(2)=2^2+b\\&\\&4+b=5\\&\\&b=1\end{align}$$Luego la solucién es
a= -1
b=1
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¡Gracias! Mil gracias profe.
Profe disculpe, una pregunta: Cuando se calcula el límite por izquierda tiene (x^2+x-6)/(x-2) y la función es (x^2-x-6)/(x-2), me puede explicar el cambio de signo, la verdad se me complica un poco esto de la continuidad de funciones.
La función a la izquierda de 2 es
f(x) = (x^2 - ax - 6) / (x-2)
Una vez que hemos calculado que el valor de a debe ser -1, la función pasa a ser
f(x) = (x^2 - (-1)x - 6) / (x-2) = (x^2 +x -6) / (x-2)
