Álgebra Abstracta suma de grupo
Sea Z_n={0,1,…,n} y defínase la suma de dos elementos a y b en Z_n como a+b=r, donde r es el resíduo que se obtiene después de dividir a+b entre n. Dem que Z_n con esta suma es un grupo.
1 Respuesta
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¡Hola Lawra!
Primero recordar que Z_n={0,1,..., n-1} tú habías escrito un elemento de más
Si claro, esa es la suma en Z_n de toda la vida y es un grupo. Veamos.
1) Es una operación interna.
Por el algoritmo de la división el resto de dividir entre n está comprendido en {0, 1, 2, ..., n-1}
·
2)
Propiedad asociativa.
El resto cumple
0 <= r < n
Y r se obtiene sumando o restando kn donde k es una constante
En concreto en la suma de dos elementos k=-1, 0 ó 1. Para no andar con subíndices usaré constantes k, h, i, j
(a+b)+c = (a+b - kn) + c = a+b-kn+c-hn = a+b+c - (k+h)n
a+(b+c) = a +(b+c-in) + a + b + c - in - jn = a+b+c - (i+j)n
Estos dos resultados deben estar entre 0 y n-1 inclusive
Si (k+h) distinto de (i+j) entonces la diferencia entre ambos será mayor o igual que n, con lo cual será imposible que estén los dos en [0, n-1]
Luego como (k+h)=(i+j) se tiene
(a+b)+c = a(b+c)
·
3)
Tiene elemento neutro, el 0
Sea a € Z_n
a+0 = 0+a = a
Y como a ya está comprendido entre 0 y n-1 no hay que quitarle nada luego ese es el resultado, luego 0 es elemento neutro
·
4)
Tiene elemento inverso.
1 tiene como inverso n-1
1+n-1 = n
Y el dividir por n da cociente 1 y resto 0
Luego en Z_n la operación da
1+n-1 = 0
Y el opuesto de 2 es n-2
Y así hasta llegar al opuesto de n-1 que es 1.
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