¿Cuál es el área mayor que puede abarcar un rectángulo?

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¡Hola Francisco!

El dibujo es el triangulo centrado, simétrico respecto del eje Y. los vértices de abajo son (-3,0), (3,0) y el superior lo calculamos por el teorema de Pitágoras

3^2 + x^2 = 5^2

x^2 = 25 -9 = 16

x=4

Luego el vértice superior es (0,4)

Supongamos que la base es b, vamos a ver cuánto mide la altura. De esa base, la mitad está a la derecha y la mitad a la izquierda. Al trazar la altura h por b/2 se forman dos triángulos semejantes y por la proporción entre lados homólogos tendremos

$$\begin{align}&\frac{3-\frac b2}{3}=\frac h4\\&\\&h= \frac{12-2b}{3}\quad  ó\quad 4-\frac{2b}{3}\\&\\&\text{nunca se sabe que vendrá mejor}\\&\\&Luego el aréa del rectángulo sera\\&\\&A(b) = bh = 4b - \frac{2b^2}{3}\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\\&A'(b)= 4-\frac{4b}{3}=0\\&\\&\frac {4b}3=4\\&\\&b=3\\&\\&\text{La derivada segunda es}\\&\\&A''(b)=-\frac 43\\&\\&\text{siempre negativa, luego b=3 es un mínimo}\\&\\&\text{Y el valor del área para b=3 es}\\& \\&A(3)= 4 - \frac{2·3}{3}= 4-2 = 2\end{align}$$

Esa es la mayor área posible, 2 unidades cuadradas.

Y eso es todo, espero que que te sirva y lo hayas entendido.

Saludos.

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