Calcular area del pentagono que aparece al unir los afijos de la raiz de indice cinco del numero complejo 32i
Ejercicios de raices de numeros complejos y calculos de areas
2 Respuestas
La raíces en módulo son = 2 Con sus argumentos tendrías:
Raiz 1= 2/ 90°
Raiz 2= 2/(90 + 360/5) = 2/ 162°
Raiz 3 = 2/ ( 90 + 2 x 360/5) = 2/ 234°
Raiz 4 = 2 /( 90 + 3 x 360/5) = 2 / 306°
Raiz 5= 2 /( 90 + 4 x 360/5) = 2/8 378°
Angulos de cada triangulo del pentagono = 72° y ( 180 - 72)/2 = 54°(2)
Lado del pentagono = 4 cos 54° = 2.351....apotema = 2 sen 54° = 1.618
Area = 5 x 2.351 x 1.618 / 2 = 9.50.
Corrijo error:
El argumento original también debe dividirse por el orden de la raíz.
O sea los cinco complejos que te indique valdran realmente:
Raiz 1= 2/ 18°
Raiz 2= 2/(18 + 360/5) = 2/ 90°
Raiz 3 = 2/ ( 18 + 2 x 360/5) = 2/162 °
Raiz 4 = 2 /( 18 + 3 x 360/5) = 2 / 234°
Raiz 5= 2 /( 18 + 4 x 360/5) = 2/306°
Resto del desarrollo igual.
¡Gracias! no puede dar superior a 360 grados??
No... siempre partís del argumento de origen ( en este caso 18°) y le vas sumando 18 + (360 x K) /n.. con K variando entre 0 y n-1... Moivre.
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¡Hola DaniDvd!
El número complejo solo es una escusa para calcular el área de un pentágono. Las raíces quintas de cualquier número complejo forman un pentágono regular y el módulo de la raíz es el radio de ese pentágono.
Luego lo único que nos interesa es ese dato del módulo de la raíz quinta de 32i que es 2.
A partir de aquí podemos reformular el ejercicio como calcula el área de un pentágono regular de radio 2.
El pentágono se divide en 5 triángulos isósceles iguales cuyos lados iguales miden 2 y el ángulo entre ellos es 360º/5 = 72º
Colocando ese triángulo sobre la circunferencia trigonométrica con 36º por debajo del eje X y 36º por arriba es fácil ver que:
El apotema mide 2· cos36º
El otro lado mide 2·2·sen36º = 4·sen36º
Luego el área del triángulo mide 4·sen36º·cos36º = 2sen72º
Asi que el área del pentágono es:
A=10·sen72º
Y esto se puede calcular con la calculadora:
A = 9.510565163
o usando un resultado real
$$\begin{align}&A=10 ·\frac{\sqrt{10+2 \sqrt 5}}{4}=\frac{5 \sqrt{10 + 2 \sqrt 5}}{2}\approx \\&\\&9.510565163\end{align}$$:
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