Calcular las siguientes integrales indefinidas por sustitución
$$\begin{align}&a)\ \int_{}\frac{x^2+\frac{2}{3}}{\sqrt{x^3+2x}}\mathrm{d}x\\&\\&b)\ \int_{}\frac{x^3}{(1+x^2)^3}\mathrm{d}x\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Maar!
$$\begin{align}&a)\ \int_{}\frac{x^2+\frac{2}{3}}{\sqrt{x^3+2x}}\mathrm{d}x=\\&\\&\text{No puede haber otro cambio que este o uno equivalente}\\&\\&t=x^3+2x\\&\\&dt=(3x^2+2)dx \implies \left(x^2+\frac 23\right)dx = \frac 13 dt\\&\\&=\int \frac{\frac 13}{\sqrt t}dt=\frac 13\int t^{-\frac 12}dt=\frac 13·\frac{t^{\frac 12}}{\frac 12}+C=\\&\\&\frac 23t^{\frac 12}+C=\frac 23 \sqrt{x^3+2x}+C\\&\\&-------------------\\&\\&b)\ \int_{}\frac{x^3}{(1+x^2)^3}\mathrm{d}x= \int \frac{x^2}{(1+x^2)^3}·x\;dx\\&\\&t=1+x^2\implies x^2=t-1\\&dt=2x\;dx\implies x\;dx=\frac 12 dt\\&\\&=\int \frac{t-1}{t^3}·\frac 12 dt=\frac 12\int(t^{-2}-t^{-3})dt=\\&\\&=\frac 12\left(\frac{t^{-1}}{-1}-\frac{t^{-2}}{-2}\right)+C=\\&\\&\frac 12\left(\frac{1}{2t^2}-\frac 1t \right)+C=\frac{1-2t}{4t^2}+C=\\&\\&\frac{1-2(1+x^2)}{4(1+x^2)^2}+C= \\&\\&-\frac{1+2x^2}{4(1+x^2)^2}+C\end{align}$$:
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