Un reto de despeje. Despegar x en esta ecuación:

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¡Hola Lola!

El dominio tiene dos limitaciones, que el radicando sea no negativo ...

4+x >= 0

x>= -4

... y que el denominador sea distinto de 0

1-x=0

x=1

Luego el dominio es

Dom f = [-4, 1) U (1, infinito)

Y el rango será el dominio de la función inversa, pero hay que hacerlo con cuidado:

$$\begin{align}&y=\frac{\sqrt{4+x}}{1-x}\\&\\&y(1-x) = \sqrt{4-x}\\&\\&y^2(1-x)^2=4-x\\&\\&y^2-y^2x^2=4-x\\&\\&y^2x^2-x +4-y^2=0\\&\\&x=\frac{1\pm \sqrt{1-4y^2(4-y^2)}}{2y^2}=\\&\\&\frac{1\pm \sqrt {1+4y^4-4y^2}}{2y^2}\\&\\&\text{Deberá ser}\\&\\&4y^4-4y^2+1\ge0\\&\\&\text{los valores de } y^2\text { para los cuales es 0 son}\\&\\&y^2=\frac{4\pm \sqrt{16-16}}{8}= \frac 12\\&\\&\text{Solo es uno luego es el vértice de la parábola }\\&\text{entonces toda la parabola en }y^2\text{ es no negativa}\\&\text{y toda la cuártica en y es también no negativa}\\&\\&\text{Solo habría problemas con y=0 por el denominador}\\&\\&\text{pero y=0 pertenece al rango, ya que para x=-4}\\&\\&y=\frac{\sqrt{4+(-4)}}{1-(-4)}=\frac {0}{5}=0\\&\\&Luego\\&\\&Rango\;f=\mathbb R\end{align}$$

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Por qué En el segundo paso el 4+x cambia a 4-x