Problema con integral racional con denominador negativo.
La siguiente integral racional debo resolverla utilizando el método de descomposición en fracciones simples:
$$\begin{align}&d)\ \int_{}\frac{\mathrm{d}x}{4-x^2}\end{align}$$Y la respuesta es:
$$\begin{align}&ln\left| \frac{x+2}{2-x} \right|^\frac{1}{4}+C\end{align}$$Pero al hacerlo me dio:
$$\begin{align}&ln\left| (x+2)(2-x) \right|^\frac{1}{4}+C\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Maar!
$$\begin{align}&\frac{1}{4-x^2}=\frac {a}{2+x}+\frac b{2-x}=\frac{(b-a)x+2(a+b)}{4-x^2}\\&\\&b-a=0 \implies a=b\\&2(a+b)=1\\&a+b=\frac 12\\&2a=\frac 12\\&a=\frac 14\implies b=\frac 14\\&\\&\frac 14\int \frac {dx}{x+2}+\frac 14\int \frac{dx}{2-x}=\\&\\&\frac 14 ln|x+2| -\frac{1}{4}ln|2-x|+C=\\&\\&ln \bigg|\frac{x+2}{2-x} \bigg|^{\frac 14}+C\end{align}$$La respuesta es la que te dicen, fijate que en la segunda integral tienes que poner un menos para contrarestar el signo menos que te daría la derivada.
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