Quiero saber el desarrollo de esta ecucion trigonometría 2 sen por cos por = sen x
Ayúdeme la matemáticas para mi es lo mejor pero tiene demasiado problemas complejo.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Pame!
$$\begin{align}&2senx·cosx = senx\\&\\&\text{Hay que tener cuidado si simplificamos, se}\\&\text{pierden respuestas. Pasamos a la izquierda todo}\\&\\&2 senx·cosx - senx = 0\\&\\&\text{extraemos factor común}\\&\\&senx(2cosx-1) = 0\\&\\&\text{Y esto da lugar a dos respuestas o más:}\\&\\&i)\quad senx=0\implies x=k\pi \quad \forall k\in \mathbb Z\\&\\&ii)\;\;2cosx -1=0\implies \cos x=\frac 12\implies \\&\\&x=\frac \pi 3+2k\pi\quad \text{ y }\quad x=\frac {5\pi}3+2k\pi\quad \forall k\in \mathbb Z\\&\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Sin no es así, preguntame. Y si ya esta bién, no olvides puntar.
Saludos.
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Respuesta
Supongo que la expresión correcta es
$$\begin{align}&2sen x \cos x = senx\\&\text{Hay varias formas de encarar esto, y yo voy a elegir una de tantas}\\&\text{Voy a hacer todos los cálculos en el intervalo [0, }2 \pi) \text{ y sabemos que la igualdad se cumplirá sumando}\\&2 k \pi \text{ a la solución original (para cualquier entero "k")}\\&\text{Separo 2 casos iniciales}\\&Caso 1: sen x = 0\\&\text{La igualdad vale y en el intervalo definido}\\&sen x = 0 \Rightarrow (x = 0 \lor x = \pi)\\&Caso 2: senx \ne 0\\&\text{Entonces podemos dividir por senx y tenemos}\\&\frac{2sen x \cos x}{senx}=1\\&2cosx = 1\\&cosx = \frac{1}{2} \Rightarrow (x = \pi/3 \lor x = 5/3 \pi)\\&\therefore \text{ Las soluciones son}\\&x = 2k \pi\\&x = \pi + 2 k \pi= \pi (1 + 2k \pi)\\&x = \pi/3 + 2k \pi = \pi(1/3 + 2k)\\&x = 5/3 \pi + 2k \pi = \pi(5/3 + 2k)\\&\forall k \in Z\\&\\&\end{align}$$
¡Gracias! Pero podrían hacerlo de otra manera.
La otra forma que se me ocurre es la que puso el profe Valero que, como ves en los resultados, es equivalente a la que escribí yo.
Saludos y no olvides calificar la respuesta.