Problema con integral racional con raíces imaginarias.
$$\begin{align}&h) \int_{}\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1} \end{align}$$La respuesta es:
$$\begin{align}&\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C\end{align}$$Pero al hacerlo me queda:
$$\begin{align}&\frac{4}{3}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C \end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Maar!
Es una integral que va a dar un arcotangente, completamos cuadrados.
$$\begin{align}&h) \int \frac{dx}{x^2+x+1}=\\&\\&\int \frac{dx}{\left(x+\frac 12 \right)^2-\frac 14+1}=\\&\\&\int \frac{dx}{\left(x+\frac 12 \right)^2+\frac 34}=\\&\\&\int \frac{dx}{\frac 34\left(\frac 43\left(x+\frac 12 \right)^2+1\right)}=\\&\\&\frac 43 \int \frac{dx}{\left(\frac 2{\sqrt 3} \right)^2\left(x+\frac 12 \right)^2+1}=\\&\\&\frac 43\int \frac {dx}{\left(\frac{2}{\sqrt 3}x+\frac 1{\sqrt 3} \right)^2+1}=\\&\\&\frac 43·\frac{1}{\frac{2}{\sqrt 3}}\int \frac {\frac{2}{\sqrt 3}dx}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)^2+1}=\\&\\&\frac{2 \sqrt 3}{3} arctg \left(\frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)+C=\\&\\&\text{O si}\text{n denominador racionalizado, que es una}\\&\text{chorrada en el 95% de las ocasiones}\\&\\&\frac{2}{\sqrt 3} arctg \left(\frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)+C\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Y no es ni la respuesta que te dan ni la que das. Y esta que he calculado la he verificado con programas de cálculo de integrales.
Saludos.
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