Calcular la siguiente serie de taylor

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¡Hola Lizerd!

Estas son las series más sencillas. Buscamos las derivadas en x=0 y luego aplicamos la fórmula de Taylor

sen(0) = 0

sen'(0) = cos(0) = 1

sen''(0) = cos'(0) = -sen(0) = 0

sen'''(0) = -sen'(0) = -cos(0) = -1

sen''''(0) = -cos'(0) = sen(0) = 0

Y está última es repetición de la primera luego el ciclo está formado por 4 derivadas

$$\begin{align}&sen\,x=x- \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+....\\&\\&\text{y la forma de expresarla por completo es}\\&\\&sen\,x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}·\frac{x^{2n-1}}{(2n+1)!}\\&\\&------------------\\&\\&\text{Para el coseno es:}\\&\\&\cos(0)=1\\&\cos'(0)=-sen(0)=0\\&\cos''(0)=-sen'(0)= -\cos(0)=-1\\&\cos'''(0)=-\cos'(0)= sen(0)=0\\&\cos^{iv}(0)=-sen'(0)=\cos(0)\\&\\&\text{Ya se repite, el ciclo es de 4}\\&\\&\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+...\\&\\&\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n·\frac{x^{2n}}{2n!}\\&\\&--------------------\\&\\&\text{Y la de }e^x\text{ es la más sencilla ya que la derivada}\\&\text{es siempre la misma}\\&\\&e^0=1\\&(e^0)' = e^0=1\\&(e^0)''=(e^0)'=e^0=1\\&\\&\text{Y la seríe es:}\\&\\&e^x=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+...\\&\\&e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\\&\end{align}$$

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