Maestro este es el segundo ejercicio sobre el método de adomain
$$\begin{align}&u(x)=x^3-\frac{x}{5}+\int_0^xxtu(t)dt\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Lizerd!
Mientras no nos cambien el tipo de problema seguimos haciendo lo mismo, cuando nos pongan otro distinto tendrás que volver a pasarme apuntes porque como te decía no he llegado a entender porque se resuelven de esta forma recurrente.
$$\begin{align}&u(x)= x^3-\frac x5 + \int_0^x\,x·t· u(t)dt\\&\\&\text{Descomponemos u en suma de polinomios de Adomain}\\&u(x) = \sum_{n=0}^\infty u_n(x)\\&\\&\text{con lo cual}\\&\sum_{n=0}^\infty u_n(x)= x^3-\frac x5 +\int_0^x\,x·t· u_n(t)dt\\&\\&\text{Y el método dice esto.}\\&u_0(x)=x^3-\frac x5\\&u_n(x)=\int_0^x x·t·u_{n-1}(t)dt\\&\\&\\&u_1(x)=\int_0^xx·t·u_0(t)\;dt=x\int_{0}^x t\left(t^3- \frac t5 \right)dt=\\&x\left[\frac{t^5}{5}-\frac {t^3}{15} \right]_0^x= \frac{x^6}{5}-\frac{x^4}{15}\\&\\&\\&u_2(x)=\int_0^xx·t·u_1(t)\;dt=x\int_{0}^x t\left(\frac{t^6}{5}- \frac {t^4}{15} \right)dt=\\&x\left[\frac{t^8}{40}-\frac{t^6}{90} \right]_0^x=\frac{x^9}{40}-\frac{x^7}{90}\\&\\&\\&u_3(x)=\int_0^xx·t·u_2(t)\;dt=x\int_{0}^x t\left(\frac{t^9}{40}- \frac {t^7}{90} \right)dt=\\&x\left[\frac{t^{11}}{440}-\frac{t^9}{810} \right]_0^x=\frac{x^{12}}{440}-\frac{x^{10}}{810}\\&\\&\text{Si n=0 }\implies u_0=x^3-\frac x5\\&\text{Si }n\neq 0\implies\\&u_n(x)=\frac{x^{3n+3}}{5·8·11···(3n+2)}-\frac{x^{3n+1}}{5·3·6·9···3n}\\&\\&\text{Con lo cual }\\&\\&u(x)=x^3-\frac x5+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x^{3n+3}}{5·8·11···(3n+2)}-\frac{x^{3n+1}}{5·3·6·9···3n} \right)\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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