Integral racional con logaritmo natural.
$$\begin{align}& \int_{}\frac{ln(x^2+2x-8)}{(x+1)^2} \mathrm{d}x\end{align}$$
2 Respuestas
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¡Hola Maar!
Algunas veces no simplificar las funciones logarítmicas antes de hacee una integral o una derivada puede ser fatal y te matas de trabajo extra. En este caso no creo que sea así, no voy a decir que al revés pero casi.
La derivada del logaritmo de un polinomio es una función racional. Eso debe hacernos pensar inmediatamente que se puede resolver si la integramos por partes haciendo u=ln(p(x)), a no ser se vea otra cosa más directa.
$$\begin{align}&\int \frac{ln(x^2+2x-8)}{(x+1)^2}dx=\\&\\&u=ln(x^2+2x-8)\qquad du=\frac{2x+2}{x^2+2x-8}dx\\&\\&dv=\frac{1}{(x+1)^2}dx \qquad\quad v=-\frac{1}{x+1}\\&\\&=-\frac{ln(x^2+2x-8)}{x+1}+2\int \frac{x+1}{(x+1)(x^2+2x-8)}dx=\\&\\&-\frac{ln(x^2+2x-8)}{x+1}+2\int \frac{dx}{x^2+2x-8}dx\\&\\&\text{vamos a centrarnos ahora solo en la integral que queda}\\&\text{Sabemos factorizar el denominador de cabeza ¿o no?}\\&\text{Y tras factorizarlo, las fracciones simples que quedan son}\\&\\&\frac{a_1}{x+4}+\frac{a_2}{x-2}\\&\\&\text{Y el numerador es 1}\\&\text {El método rápido para dos raíces distintas}\\&\text{y numerador constante es }\\&\\&a_i=\frac{numerador}{\text{(raíz propia)}-\text{raíz contraria}}\\&\\&a_1=\frac{1}{-4-2}=-\frac 16\\&\\&a_2=\frac{1}{2-(-4)}=\frac 16\\&\\&\text{pero tú usa el método que te hayan enseñado}\\&\text{que hay otros dos oficiales}\\&\\&\text{Y con ello la integral completa es}\\&\\&I=-\frac{ln(x^2+2x-8)}{x+1}+2\ \left(-\frac 16 ln|x+4|+\frac 16ln|x-2| \right)+C=\\&\\&-\frac{ln(x^2+2x-8)}{x+1}+\frac 13\ \left( ln|x-2|-ln|x+4| \right)+C\end{align}$$Y esa es la auténtica integral. Yo no soy nada partidario de agrupar luego los logaritmos e incluso ponerles exponentes, luego no hay quien derive esos conglomerados.
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Pero como te decía, si puedes simplificar las funciones logarítmicas suel ser más sencillo. Entonces aquí factorizaremos primero el polinomio que hay en el logaritmo y luego usando las propiedades lo pondremos como suma de dos logaritmos:
$$\begin{align}&I=...=\int \frac{ln(x+4)}{(x+1)^2}dx + \int \frac{ln(x-2)}{(x+1)^2}dx=\\&\\&\text{haciendo las dos integraciones por partes}\\&\\&-\frac{ln(x+4)}{x+1}+\int \frac{dx}{(x+1)(x+4)}-\frac{ln(x-2)}{x+1}+\int \frac{dx}{(x+1)(x-2)}=\\&\\&-\frac{ln[(x+4)(x-2)]}{x+1}+\int \frac{1}{x+1}\left(\frac {1}{x+4}+\frac{1}{x-2} \right)dx=\\&\\&-\frac{ln[(x+4)(x-2)]}{x+1}+\int \frac 1{x+1}·\frac{x-2+x+4}{(x+4)(x-2)}dx=\\&\\&-\frac{ln[(x+4)(x-2)]}{x+1}+\int \frac 1{x+1}·\frac{2x+2}{(x+4)(x-2)}dx=\\&\\&-\frac{ln[(x+4)(x-2)]}{x+1}+2\int \frac{dx}{(x+4)(x-2)}=...\\&\\&\\&\end{align}$$Y esa integral ya la hicimos antes, no la vamos a repetir. Puedes comprobar que el resultado que te va a dar es el mismo.
Y es curioso, es una de las pocas veces en que simplificar la función logarítmica conlleva más tabajo después que sin haberla simplificado, como ya preveía yo al principio.
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Saludos.
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Hola Maar!
$$\begin{align}&\ \frac{ln(x^2+2x-8)}{(x+1)^2 }= \frac{ln(x+1)^2-9}{(x+1)^2}=\frac{ln[(x+1)+3][(x+1)-3]}{(x+1)^2}=\\&\\&=\frac{ln(x+4)(x-2)}{(x+1)^2}=\frac{ln(x+4)}{(x+1)^2}+\frac{ln(x-2)}{(x+1)^2}\\&\\&I_1=\int \frac{ln(x+4)}{(x+1)^2}dx\\&\\&I_2=\int \frac{ln(x-2)}{(x+1)^2}\\&\\&\\&I_1:\end{align}$$
I_2:
Solución:
I=I_1+I_2=
Saludos
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Int arctan:
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