Resolver la siguiente ecuacion diferencial homogenea

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¡Hola Wlady!

$$\begin{align}&(x^3+y^2(x^2+y^2)^{\frac 12})dx-(xy(x^2+y^2)^{\frac 12})dy=0\\&\\&(x^3+y^2(x^2+y^2)^{\frac 12})dx=(xy(x^2+y^2)^{\frac 12})dy\\&\\&\frac {dy}{dx}=\frac{x^3+y^2(x^2+y^2)^{\frac 12}}{xy(x^2+y^2)^{\frac 12}}\\&\\&\text{Hacemos el cambio }y=ux\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}·x+u\\&\\&\frac{du}{dx}·x+u=\frac{x^3+u^2x^2(x^2+u^2x^2)^{\frac 12}}{xux(x^2+u^2x^2)^{\frac 12}}\\&\\&\frac{du}{dx}·x+u=\frac{x^3+u^2x^3(1+u^2)^{\frac 12}}{x^3u(1+u^2)^{\frac 12}}\\&\\&\frac{du}{dx}·x+u=\frac{1+u^2(1+u^2)^{\frac 12}}{u(1+u^2)^{\frac 12}}\\&\\&\frac{du}{dx}·x=\frac{1+u^2(1+u^2)^{\frac 12}}{u(1+u^2)^{\frac 12}}-u\\&\\&\frac{du}{dx}·x=\frac{1+u^2(1+u^2)^{\frac 12}-u^2(1+u^2)^{\frac 12}}{u(1+u^2)^{\frac 12}}\\&\\&\frac{du}{dx}·x=\frac{1}{u(1+u^2)^{\frac 12}}\\&\\&u \sqrt {1+u^2}\; du=\frac {dx}{x}\\&\\&\int u \sqrt{1+u^2}\;du=ln\,x+ln\,C\\&\\&t^2=1+u^2\\&2t\;dt=2u\;du\implies u\;du=t\;dt\\&\\&\int t·t\;dt=ln(Cx)\\&\\&\frac{t^3}{3}=ln(Cx)\\&\\&\frac{\sqrt{(1+u^2)^3}}{3}=ln(Cx)\\&\\&\frac{\sqrt{\left(1+\left(\frac yx\right)^2\right)^3}}{3}=ln(Cx)\\&\\&\frac{\sqrt{\left(\frac {x^2+y^2}{x^2}\right)^3}}{3}=ln(Cx)\\&\\&\frac{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}{3x^3}=ln(Cx)\\&\end{align}$$

Revísalo todo, ya viste que puedo equivocarme.  Y si quieres puedes llegar a despejar la y,  pero a mi ya no me deja escribir más el ordenador en el cuadro de la fórmula.

Saludos.

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¡Gracias! 

Ayudame despejando la "y" para ver si te queda la respuesta igual a la que la mia

Bladdy, poco más te ayudarán si un ejercicio de ecuaciones diferenciales no lo puntúas con excelente, lleva mucho tiempo y sacrificio para que lo puntúes tal como lo has hecho.

Entonces disculpa como es de poner

Porque soy nuevo en este medio. Y muchas gracias por tu ayuda ya que me das una base o una guia para resolver los ejercicios

Enserio muchas gracias por tu ayuda y disculpa si califique mal

y pues despejada la "y" me quedo

$$\begin{align}&y=x\sqrt{\sqrt[3]{3[(lnx)^2+lnx^2+c]-1}}\end{align}$$

nose si estoy bien. Porque lo tuyo si esta bien hecho pero yo con la diferencia que al lado derecho solo puse asi ln(x)+c porque solo en ciertas maneras se le pone el ln a la c. Bueno a mi me enseñaron asi a mi. Nose si estoy bien. Por favor ayudame con el despeje de la "y". Muchas gracias anticipadamente

Sigamos despejando y

$$\begin{align}&\frac{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}{3x^3}=ln(Cx)\\&\\&\sqrt{(x^2+y^2)^3}=3x^3·ln(Cx)\\&\\&x^2+y^2= (3x^3·ln(Cx))^{\frac 23}\\&\\&y^2=(3x^2·ln(Cx))^{\frac 23}-x^2\\&\\&\\&y=\pm \sqrt{(3x^3·ln(Cx))^{\frac 23}-x^2}\\&\\&y=\pm \sqrt{x^2(3ln(Cx))^{\frac 23}-x^2}\\&\\&y=\pm\, x \sqrt{(3ln(Cx))^{\frac 23}-1}\\&\\&\text{Probablemente veas mejor esto, es lo mismo}\\&\\&y=\pm\,x \sqrt{(3·(ln\,x+C))^{\frac 23}-1}\end{align}$$

Y eso es todo.

Mientras mandabas tu respuesta yo hacía la mía.

La tuya tiene un par de fallos, tendría que ser:

$$\begin{align}&y=x\sqrt{\sqrt[3]{9[(lnx)^2+lnx^2+c]}-1}\end{align}$$

Muchas ¡Gracias! casi como yo le saque pero lo mio esta expresado de otra manera

¡Ah! Y le faltaría el más menos delante, ya que las dos funciones son solución

y disculpa el

$$\begin{align}&±\end{align}$$

es obligatorio poner cuando se saca raiz cuadrada o no?? y tambien el

$$\begin{align}&±\end{align}$$

solo se pone en raiz cuadrada o tambien en cubica???