Ejercicio de ecuaciones en derivadas parciales
Calcular la derivada direccional de la función dada:
$$\begin{align}&f(x,y)=ax+by\ en\ el\ punto\ (x_0,y_0)\ en\ la\ dirreccion\ del\ vector\ u=(2,3)\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Lizerd!
Si se puede usar el gradiente está chupado, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector direccional unitario.
$$\begin{align}&\nabla f(x_0,y_0)=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))=(a,b)\\&\\&f_u(x_0,y_0)=(a,b) ·\left(\frac{2}{\sqrt {4+9}},\frac{3}{\sqrt{4+9}} \right)= \frac{2a+3b}{\sqrt {13}}\\&\\&\text{Si no se puede usar es}\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+2h,y_0+3h)-f(x_0,y_0)}{\sqrt{4h^2+9h^2}}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{a(x_0+2h)+b(y_0+3h)-ax_0-by_0}{h \sqrt {13}}=\\&\\&\lim_{h\to 0} \frac{ax_0+2ah+by_0+3bh-ax_0-by_0}{h \sqrt {13}}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{2ah+3bh}{h \sqrt {13}}=\frac{2a+3b}{\sqrt {13}}\end{align}$$:
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