Resolver la siguiente ecuación diferencial.

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¡Hola Edwin!

Bien si es exacta, de todas formas lo comprobaremos.

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\frac{x^2e^{-y/x}+y^2}{xy}\\&\\&(x^2e^{-y/x}+y^2)dx-xy\;dy=0\\&\\&M_y=-x^2e^{-y/x}·\frac yx+2y\\&\\&N_x=-y\end{align}$$

No es exacta no de lejos, y tampoco sirve el factor integrante.  Probablemente querías decir que era homogénea.

Entonces el cambio que hay que hacer es y=ux

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\frac{x^2e^{-y/x}+y^2}{xy}\\&\\&y=ux\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}·x+u=\frac{x^2e^{-u}+u^2x^2}{x·ux}\\&\\&\frac{du}{dx}·x+u=\frac{e^{-u}+u^2}{u}\\&\\&\frac{du}{dx}·x=\frac{e^{-u}+u^2}{u}-u=\frac{e^{-u}}{u}\\&\\&\frac u{e^{-u}}du=\frac {dx}x\\&\\&ue^{u} du=\frac{dx}{x}\\&\\&\int ue^{u} du=ln\,x+ln\,C\\&\\&\text{Se integra por partes}\\&\\&u=u\qquad\qquad du=du\\&dv=e^u\,du\qquad v=e^u\\&\\&ue^u-\int e^u du=ln(Cx)\\&\\&ue^u-e^u=ln (Cx)\\&\\&e^u(u-1) =ln(Cx)\\&\\&e^{\frac yx}\left(\frac{y}{x}-1\right)= ln(Cx)\end{align}$$

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