Anónimo
Resolver la siguiente ecuación diferencial no lineal
Ayúdenme resolviendo la siguiente ecuación diferencial no lineal:
$$\begin{align}&(1+\frac{e^y}{x})dx−(x+3e^y)dy=0\end{align}$$
1 Respuesta
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¡Hola Wlady!
Veamos si puede resolverse por factor integrante- Evidentemente no es diferencial exacta porque
$$\begin{align}&M_y = \frac{e^y}{x}\\&N_x = -1\\&\\&Tenemos \\&\\&\frac{M_y-N_x}{M}=1\\&\\&\text{Que es función solo de y (en realidad de nada)}\\&\\&\text{La teoria dice que siendo así el factor integrante es}\\&\\&\mu(y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M}dy}= e^{\int-dy}=e^{-y}\\&\\&\text{Y la ecuación queda}\\&\\&\left(e^{-y}+\frac 1x\right)dx -(xe^{-y} + 3)dy=0\\&\\&M_y=e^{-y}\\&N_x=e^{-y}\\&\\&\text{es diferencial exacta}\\&\\&\text{Integramos M respecto x}\\&\\&u(x,y)=\int \left(e^{-y}+\frac 1x\right)dx= xe^{-y}+ln\,x+\varphi(y)\\&\\&\text{ahora la derivamos esto respecto de y y lo igualamos a N}\\&\\&-xe^{-y}+\varphi'(y)= -xe^{-y}+3\\&\\&\varphi'(y)=3\\&\\&\varphi(y)=3y\\&\\&\text{Y volviendo arriba}\\&\\&u(x,y)=xe^{-y}+ln\,x+3y\\&\\&\text{Y la solución es }u(x,y)=C\\&\\&xe^{-y}+ln\,x+3y=C\end{align}$$Y eso es todo, repásalo bien por si acaso. Saludos.
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¡Muchas Gracias!
Y disculpa en que se diferencial las fórmulas para sacar el factor integrante en ecuaciones exactas, casi exactas y no exactas.
Porque ese método si no me enseñaron
$$\begin{align}&\frac{My−Nx}{M}\end{align}$$osea esa formulas q cambia en los 3 casos. Xq segun estaba biendo es exacta cuando la derivada d M y N son iguales, Casi Exacta cuando la derivada d M y N tienen algo en comun. y No exactas cuando la derivada d M y N no se parecen en nada.
Pero quisiera saber las fórmulas en que se diferencian. Osea en el procedimiento que cambia en cada caso
Por favor si me podría ayudar con eso por favor ya que en internet y youtube no entiendo
Yo no conozco esa teoría de las casi exactas. Solo sé que si son exactas no tienes que multiplicar por nada y las resuelves tal como lo hice yo despues de haberla dejadoexacta. Y si no son exactas pero se dan determinadas circunstancias, existe un factor que es solo función de x o solo de y que multiplicando a la ecuación hace que esta sea exacta. Te doy en enlace de la wikipedia. En realidad aquí salen dos casos más de los que estudié yo, el de que la factor solo dependa de x+y o de xy
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_exacta
¡Muchas Gracias!
Le agradezco infinitamente por la ayuda, no se imagina la gran ayuda que me iso ya que usted me enseño nuevos métodos para resolver y más fáciles de los que me enseñaron.
Ya me voy a poner a estudiar bien los 3 métodos porque si existe las casi exactas
te jalaste en el signo del 3 porque es -3 no 3
Sí ya sabía yo mantener ese paréntesis con el signo - delante sin quitarlo iba a causar alguna desgracia y al final sucedió.
$$\begin{align}&M_y = \frac{e^y}{x}\\&N_x = -1\\&\\&Tenemos \\&\\&\frac{M_y-N_x}{M}=1\\&\\&\text{Que es función solo de y (en realidad de nada)}\\&\\&\text{La teoria dice que siendo así el factor integrante es}\\&\\&\mu(y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M}dy}= e^{\int-dy}=e^{-y}\\&\\&\text{Y la ecuación queda}\\&\\&\left(e^{-y}+\frac 1x\right)dx -(xe^{-y} + 3)dy=0\\&\\&M_y=e^{-y}\\&N_x=e^{-y}\\&\\&\text{es diferencial exacta}\\&\\&\text{Integramos M respecto x}\\&\\&u(x,y)=\int \left(e^{-y}+\frac 1x\right)dx= xe^{-y}+ln\,x+\varphi(y)\\&\\&\text{ahora la derivamos esto respecto de y y lo igualamos a N}\\&\\&-xe^{-y}+\varphi'(y)= -xe^{-y}-3\\&\\&\varphi'(y)=-3\\&\\&\varphi(y)=-3y\\&\\&\text{Y volviendo arriba}\\&\\&u(x,y)=xe^{-y}+ln\,x-3y\\&\\&\text{Y la solución es }u(x,y)=C\\&\\&xe^{-y}+ln\,x-3y=C\end{align}$$Sigue así de atento todas las veces.