Resolver la siguiente ecuación casi exacta

·

·

Yo creo que las que tú llamas casi exactas yo las llamo no exactas. Se resuelven calculando el factor integrante como hice antes alguna.

M_y = -3seny

N_x = -seny

Tendremos  (M_y - N_x) / N = (-3seny+seny) /(-xseny) = 2/x

solo depende de x.  Y en este caso el factor integrante es:

$$\begin{align}&\mu(x)=e^{\int \frac{M_y-N_x}{N}dx}=e^{\int \frac 2xdx}=e^{2lnx}=\\&\\&e^{ln\,x^{2}}=x^{2}\\&\\&\text{Multiplicando por él}\\&\\&(4x^4+3x^{2} \cos y)dx - x^{3}seny \;dy=0\\&\\&M_y=-3x^{2}sen\, y\\&N_x=-3x^2sen\,y\\&\\&\text{Ya es exacta, integramos M respecto de x}\\&\\&u(x,y)=\int (4x^4+3x^{2} \cos y)dx =\frac 45 x^5+x^3cos\,y+\varphi(y)\\&\\&\text{derivamos respecto y e igualamos a N}\\&\\&-x^3sen \,y+\varphi'(y)=-x^3seny\\&\\&\varphi'(y)=0\\&\\&\varphi(y)=0\\&\\&u(x,y)=\frac 45 x^5+x^3cos\,y+0\\&\\&\text{Y la solución es }u(x,y)=C\\&\\&\frac 45 x^5+x^3cos\,y=C\\&\\&y=arc \cos \left(\frac{C-\frac 45x^5}{x^3}\right)\\&\\&y=arccos\left(\frac{C-4x^5}{x^3}  \right)\end{align}$$

Ten en cuenta que el C de la última no es el mismo de la penúltima, ya que llame C a 5C

Y eso es todo, repásalo.  Me voy.

Saludos.

:

: