Efectuando una restricción adecuada sobre el dominio determine una función inversa.

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¡Hola Lola!

Cuando una función toma el mismo valor para dos valores distintos de x entonces la inversa no es una función ya que tiene dos valores para la misma x. Por eso hay que tomar un dominio de función donde la función original sea inyectiva.

1)  y = (x+1)^2

Esto es una parábola siempre no negativa que tiene su vértice donde menos vale

para x=-1 tenemos

y=(-1+1)^2 = 0

y este es el mínimo valor que puede tomar.

A la izquierda o derecha del vértice la parábola es siempre estrictamente monótona y por tanto inyectiva.

Luego vamos a tomar

Dom f = [-1, infinito)

Y entonces la función inversa se calcula despejando x y haciendo después unos cambios de variable.

$$\begin{align}&y=(x+1)^2\\&\\&\text{nótese que por el dominio tomado } x+1\ge 0\\&\text{luego tomamos la raíz cuadrada positiva}\\&\\& \sqrt y = x+1\\&\\&x=\sqrt y - 1\\&\\&\text{Y ahora se hacen los cambios}\\&\\&x=f^{-1}(x)\\&y=x\\&\\&\text {quedando}\\&\\&f^{-1}(x)=\sqrt x -1\\&\\&\\&2)\quad  y=x^{2/3}=(\sqrt[3] x)^2\\&\\&\text{toma valores iguales para x y (-x)}\\&\text{luego hay que tomar solo los positivos por ejemplo}\\&\\&Dom\, f=[0, \infty)\\&\\&y=x^{2/3}\\&\\&y^{3/2}=x\\&\\&\text{Y haciendo los cambios de antes}\\&\\&f^{-1}(x)=x^{3/2}\\&\\&\\&3)\quad  y=|x-1|\\&\\&\text{Esta función es simétrica respecto del pico}\\&\text{que tiene en su valor mínimo}\\&\\&Si \;x=1\implies y=|1-1|=0\\&\\&\text{que es el mínimo valor que puede tomar}\\&\\&\text{tomaremos la rama derecha}\\&\\&Dom\,f=[1, \infty)\\&\\&\text{Para esta rama el interior es siempre no negativo}\\&\text{luego podemos ponerla como}\\&\\&y= x-1\\&\\&x=y+1\\&\\&f^{-1}(x)=x+1\\&\\&\text{No es necesario poner } f^{-1}(x)=|x+1|\\&\\&\text{por la restricción que se hizo en el dominio}\end{align}$$

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En el ejercicio número tres, como quedaría la inversa de la rama izquierda?