Recinto limitado por parábola, recta tangente y ejes coordenados.
Calcular el área del recinto limitado por la parábola
$$\begin{align}&y=x^2-2x+2\end{align}$$, su recta tangente en
$$\begin{align}&x=3\end{align}$$y los ejes coordenados.
El resultado deberia ser
$$\begin{align}&\frac{23}{8}\end{align}$$pero no logro llegar a este resultado.
2 respuestas
Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola Maar!
Punto de Tangencia :
$$\begin{align}&f(3)=9-6+2=5 \Rightarrow T=(3,5)\\&\\&\end{align}$$pendiente recta tangente:
$$\begin{align}&y'=2x-2\\&\\&y'(3)=6-2=4\\&Recta \ tangente:\\&y-y_o=m(x-x_o)\\&\\&y-5=4(x-3) \Rightarrow y=4x-7\\&\\&\end{align}$$
Hay dos recintos:
Punto de corte recta tangente con el eje X:
$$\begin{align}&4x-7=0 \Rightarrow x=\frac{7}{4}\\&\\&A_1=\int_0^{\frac{7}{4}}(x^2-2x+2)dx= \Bigg[\frac{x^3}{3}-x^2+2x \Bigg]_0^{\frac{7}{4}}=\\&\\&=\frac{343}{192}-\frac{49}{16}+\frac{14}{4}=\frac{427}{192} \ \ u^2\\&\\&A_2= \int_{\frac{7}{4}}^3 \Big[x^2-2x+2- \Big(4x-7 \Big)\Big]dx= \int_{\frac{7}{4}}^3\Big(x^2-6x+9 \Big) dx=\\&\\&= \Bigg[\frac{x^3}{3}-3x^2+9x \Bigg ]_{\frac{7}{4}}^3=\\&\\&=(9-27+27)-(\frac{343}{192}-\frac{147}{16}+\frac{63}{4})=\frac{125}{192} \ u^2\\&\\&A_{total}=A_1+A_2=\frac{427}{192}+\frac{125}{192} =\frac{552}{192}=\frac{23}{8} \ u^2\\&\\&c.q.d.\\&\end{align}$$c.q.d. (como queríamos demostrar)
Saludos
;)
;)
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
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¡Hola Maar!
Primero calculamos la recta tangente a la parábola en x=3
La fórmula es esta:
$$\begin{align}&y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)\\&\\&f(x) = x^2-2x+2\\&\\&x_0=3\\&y_0=f(x_0)= 3^3-2·3+2=5\\&f'(x)=2x-2\\&f'(x_0)=f'(3)=2·3-2=4\\&\\&\text{y la recta tangente es}\\&\\&y=5+4(x-3)\\&y=5+4x-12\\&y=4x-7\end{align}$$Y ahora trazamos la gráfica
El punto de corte es la intersección con el eje X de la recta
y=4x-7
0=4x-7
4x=7
x=7/4
Y el área será:
$$\begin{align}&A=\int_0^{\frac 74}(x^2-2x+2)dx+\\&\qquad\int_{\frac 74}^3[x^2-2x+2-(4x-7)]dx=\\&\\&\int_0^{\frac 74}(x^2-2x+2)dx+\int_{\frac 74}^3(x^2-6x+9)dx=\\&\\&\left[\frac {x^3}{3}-x^2+2x \right]_0^{\frac 74}+\left[\frac {x^3}{3}-3x^2+9x \right]_{\frac 74}^3=\\&\\&\frac{343}{192}-\frac{49}{16}+\frac {14}4+9-27+27-\frac{343}{192}+\frac {147}{16}-\frac {63}{4}=\\&\\&\frac{98}{16}-\frac{49}{4}+9=\frac{98-196+144}{16}=\frac{46}{16}=\frac {23}8\end{align}$$Luego estaba bien la respuesta.
Y eso es todo, saludos, no olvides valorar las respuestas.
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