Ecuacionesdiferenciales de primer orden resolver
Buenos días amigos de todo expertos espero me ayuden con esta ecuación diferencial hay que argumentar si es exacta y por que y si loes se resuelve y según el tutor si no lo es también gracias estoy atento
2 Respuestas
Respuesta de Lucas m
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;)
Hola oscar!
Sea una ecuación diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Será diferencial exacta si:
$$\begin{align}&\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\\&\\&M_y=N_x\\&\\&(1+lnx+\frac{y}{x})dx-(1-lnx)dy=0\\&\\&M=1+lnx+\frac{y}{x} \Rightarrow M_y=\frac{1}{x}\\&\\&N=-1+lnx \Rightarrow N_x=\frac{1}{x}\\&\\&Si \ es \ Diferencial \ exacta \Rightarrow \exists \ F(x,y) \ tal \ que:\\&\\&\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=0\\&donde:\\&\\&\frac{\partial F}{\partial x}=M \ \ \ i \ \ \ \frac{\partial F}{\partial y}=N\\&\\&luego:\\&\frac{\partial F}{\partial y}=-1+lnx \Rightarrow \\&\\&F(x,y)=\int (-1+ lnx)dy+h(x)=-y+ylnx+h(x)\\&derivando \ respecto \ x:\\&\frac{\partial F}{\partial x}=M\\&\\&\frac{y}{x}+h'(x)=M\\&\\&\frac{y}{x}+h'(x)=1+lnx +\frac{y}{x} \Rightarrow h'(x)=1+lnx \Rightarrow\\&\\&h(x)=\int (1+lnx)dx=x+xlnx-x+C=xlnx+C\\&\\&Luego\\&F(x,y)=-y+ylnx+xlnx+C\\&\\&\end{align}$$La integral de lnx se hace por partes:
$$\begin{align}&\int lnxdx=uv-\int u'v=\\&\\&u=lnx \rightarrow u'= \frac{1}{x}\\&v'=1 \Rightarrow v=x\\&\\&=xlnx- \int \frac{1}{x}xdx=xlnx- \int dx=xlnx-x\end{align}$$Saludos
;)
;)
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Oscar Carreño!
Primero pondremos la ecuación en la forma canónica
M dx + N dy = 0
$$\begin{align}&(1-lnx)dy=\left(1+lnx + \frac yx\right)dx\\&\\&\left(1+lnx + \frac yx\right)dx -(1-lnx)dy=0\\&\\&\text{incluso mejor}\\&\\&\left(1+lnx + \frac yx\right)dx +(lnx-1)dy=0\\&\\&\text{Sera exacta si }M_y=N_x\\&\\&M_y=\frac 1x\\&\\&N_x=\frac 1x\\&\\&\text{Luego es exacta}\\&\\&\text{Para resolver integramos }M\,dx\;ó \;N\,dy\\&\text{la que vemos más sencilla y como constante de }\\&\text{integración se pone una función de la otra variable}\\&\\&\text{Es más fácil integrar }N\,dy\\&\\&u(x,y)=\int(lnx-1)dy = y(lnx-1)+\varphi(x)\\&\\&\text{Ahora derivamos respecto x e igualamos a M}\\&\\&\frac yx+\varphi'(x)=1+lnx + \frac yx\\&\\&\text{despejamos }\varphi'(x)\\&\\&\varphi'(x)=1+lnx\\&\\&\text{y lo integramos}\\&\\&\varphi(x)=\int(1+lnx)dx=\\&\\&u=1+lnx\qquad du=\frac {dx}{x}\\&dv=dx\qquad\qquad v=x\\&\\&=x(1+lnx)-\int dx = x+x·lnx-x=x·lnx\\&\\&\text{Y este valor lo sustituimos en u(x,y)}\\&\\&u(x,y) = y(lnx-1)+x·lnx=\\&\\&\text{Y u(x,y)=C es la solución general}\\&\\&y(lnx-1)+x·lnx=C\\&\\&y=\frac{C-x·lnx}{lnx-1}\\&\\&\end{align}$$:
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