Como resolver el siguiente problema de estrategias de conteo.

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¡Hola Carolinaboni!

Puesto que cada una debe valer al menos 5 puntos vamos a quitar esos 5 puntos a todas y así podrán valer de 0 a 40.

Entonces restamos 15·5 = 75 puntos, quedan

180-75 = 105

Luego hemos reducido el problema a distribuir 105 puntos entre 15 preguntas con valores entre 0 y 40.

El número de respuestas enteras no negativas de un sumatorio de n elementos igualado a k es CR(n, k) =C(n+k-1, k)

Aquí tenemos el sumatorio de 15 elementos igualado a 105, luego son

CR(15, 105) = C(119, 105) = 119! / (105! · 14!)=

591315394579074378

Pero debemos restar aquellas distribuciones donde alguna pregunta valía más de 40 puntos.

En principio suponemos que vale más de 40 alguna de las 15, entonces restando esos 40 puntos al total son

15·CR(15,65) = 15·C(79,65) = 15·79!/(65!·14!)=18663383859582825

Pero aquellas donde eran dos las preguntas con más de 40 puntos las hemos restado 2 veces, luego las debemos sumar. Esto es el llamado principio de inclusión-exclusión.

Restando los 80 puntos de esas dos preguntas son

C(15,2)·CR(15,25) = 105·C(39,25)=105·39!/(25!·14!)=1583872961580

Luego las formas son:

CR(15,105) - 15·CR(15,65) + 105·CR(15,25) =

Si lo queremos expresar en combinaciones normales es:

= C(119,105) - 15·C(79,65) + 105·C(39,25)=

Y el número exacto es:

= 591315394579074378 - 18663383859582825 + 1583872961580=

572.653.594.592.453.133

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Y esto es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Saludos.

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