Términos diferentes e iguales en la expansión del siguiente polinomio
La expansión del Polinomio:
$$\begin{align}&(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+y+y^2+y^3+y^4)(1+z+z^2+z^3+z^4)(1+u+u^2+u^3+u^4)(1+v+v^2+v^3+v^4)\end{align}$$es una suma de monomios del tipo
$$\begin{align}&x^my^nz^ru^sv^t\end{align}$$. Se pregunta:
a) ¿Cuántos de estos monomios tienen todos sus exponentes distintos?.
b) ¿En cuántos de ellos hay al menos dos exponentes iguales?
1 Respuesta
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¡Hola Jaime!
a)
Cada uno de los exponentes puede tomar valores entre 0 y 4. Además independientemente del exponente que tenga una variable los otros exponentes pueden tomar cualquiera de los valores posibles.
Los exponentes de la expansión son las variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 5 en 5 = 5^5 = 3125
Luego el exponente de x tiene 5 valores posibles, el de la y dipone de 4 para no repetirse con el de x, el de z puede tomar 3 valores, el de u 2 valores y el v el que el dejan. Esto son
5·4·3·2·1 = 120
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b)
Todos los que no los tengan todos distintos tendrán al menos dos iguales.
Ya dije antes que todos los términos de la expansión eran variaciones con repetició de 5 tomadas de 5 en 5
VR(5,5) = 5^5 = 3125
Luego los que tienen repetido uno al menos son
3125 - 120 = 3005
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Y eso es tod, espero que te sirva y lo hayas entendido.
Saludos.
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