Resolver la sigueinte ecuacion con radicales

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Hola albert!

Despejando una raíz y elevando al cuadrado:

$$\begin{align}&\sqrt{4x+1}=8+ \sqrt{2x-3}\\&\\&(\sqrt{4x+1})^2=(8+ \sqrt{2x-3})^2\\&\\&4x+1=64 +2x-3+16 \sqrt{2x-3}\\&\\&2x-60=16  \sqrt{2x-3}\\&\\&\\&(2x-60)^2=(16  \sqrt{2x-3})^2\\&\\&4x^2-240x+3600=256(2x-3)\\&\\&4x^2-752x+4368=0\\&\\&x^2-188x+1092=0\\&\\&x_1=182\\&x_2=6\\&\\&\end{align}$$

comprobando las soluciones en la ecuación inicial solo la cumple  x=182

Siempre que una ecuación se eleva al cuadrado se han de comprobar las soluciones

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¡Hola Albert!

$$\begin{align}&\sqrt{4x+1}-\sqrt{2x-3}=8\\&\\&\sqrt{4x+1}=8+ \sqrt{2x-3}\\&\\&\text{elevamos al cuadrado}\\&\\&4x+1 = 64 +16 \sqrt{2x-3}+2x-3\\&\\&2x -60 = 16 \sqrt{2x-3}\\&\\&\text{elevamos de nuevo al cuadrado}\\&\\&4x^2 - 240x + 3600 = 512x -768\\&\\&4x^2-752x+4368=0\\&\\&x^2 - 188x +1092=0\\&\\&x \frac{188\pm \sqrt{188^2-4368}}{2}=\\&\\&\frac{188\pm 176}{2}=182 \;y\;6\end{align}$$

Y lo que debe hacerse después de resolver una ecuación con radicales donde se ha elevado al cuadrado es verificar las respuestas porque es bastante corriente que salga alguna respuesta que no vale.  Para ello hay que probarlas en la ecuación original.

$$\begin{align}&\sqrt{4x+1}-\sqrt{2x-3}=8\\&\\&\sqrt{4·6+1}-\sqrt{2·6-3}= 5-3=2\\&\\&\sqrt{4·182+1}-\sqrt{2·182-3}=27-19=8\end{align}$$

Luego la respuesta 6 no sirve.

La solución única es

x=182

Y eso es todo, saludos.

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